Re: resolução de problemas

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caro Prof Carlos Gomes,
Saudacoes !

Ha alguns dias lhe remeti um e-mail no qual apresentava as solucoes de dois 
dos tres problemas que o Sr propos. A questao "2", salvo melhor juizo, nao 
esta com o enunciado correto. Fiz observacoes e dei sugestoes concernetes a 
este problema.
Apenas esbocei a solucao da terceira questao. Revendo a solucao formei a 
opiniao de que o esboco nao esta suficientemente claro e esta e a razao de 
eu lhe esta remetendo este novo e-mail.
A terceira questao pode ser "mapeada" por uma "folheacao aritmetica", um 
assunto que atraiu minha atencao ha alguns anos atras e que estudei 
exaustivamente.
Para que o Sr veja esta folheacao observe que:

de 1 a 9 (9=10^1 - 1), o algarismo 4 aparece uma unica vez como algarismo 
das unidades.
de 10 a 99 (99=10^2 - 1), o alg 4 aparece 9 vezes como alg das unidades e 10 
vezes como alg das dezenas

Esta duas observacoes permitem montar o triangulo:

1
9  10

de 100 a 999 ( 999=10^3 - 1 ), o algarismo 4 aparece 90 vezes como alg da 
unidades, 90 vezes como alg das dezenas e 100 vezes como algarismo de 
centena. O triangulo derivado sera:

1
9    10
90   90   100

de 1000 a 9999 (9999=10^4 - 1), repetindo o raciocinio anterior, formaremos 
o triangulo:

1
9    10
90   90   100
900  900  900   1000

Com certeza o Sr ja deve ter adivinhado a lei de formacao deste triangulo: 
Numerando-se as linhas de cima para baixo a partir de 1, a linha "N" (exceto 
a primeira )tem N numeros, "N-1" vezes 9*10^(N-2)
e um 10^(N-1). E logico que a soma de todos os elementos do triangulo e a 
quantidade de vezes que o algarismo 4 aparece se escrevermos de 1 a 10^N.
Observe que a soma de cada coluna é constante e sempre igual ao ultimo 
elemento de ultima linha. Assim, de 1 a 10^N - 1 teremos N linhas, a linha N 
com N numeros e sendo o ultimo igual a 10^(N-1). Como a soma de cada coluna 
e constante:

Resposta: T = N*10^(N-1).

No seu caso particular N = 6. Assim: T = 6*(10^5)=600.000 vezes.

Mais importante que tudo isso e notar o quanto o triangulo aritmetico 
facilita as coisas. Estes triangulos aritmeticos podem ser classificos e 
existe um numero que os caracteriza univocamente. O triangulo de Pascal e 
apenas um dentre uma infinidade de outros triangulos com propriedades 
maravilhosas. No caso de seu triangulo o numero que o caracteriza e 42. Eu 
chamo este numero de "Nicolau" do triangulo, numa homenagem ao moderador de 
nossa lista. Assim, no triangulo que construimos, Nicolau = 42. O triangulo 
de Pascal tem Nicolau = 1. Todos os termos de um triangulo podem ser 
expressos em funcao do "Nicolau".

Um forte abraco
Paulo Santa Rita
3,0951,280899

3)Qual é o número de vezes que aparece o algarismo 5 quando uma impressora 
imprime todos os números inteiros de 1 a 1 000 000? Quantas vezes aparece o 
algarismo 4?

______________________________________________________
Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com