Re: Desafio...

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: Heleno Meira <helenos@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 20 de Setembro de 1999 12:31
Assunto: Re: Desafio...


>Para justificar é só usar o conceito de derivada para função potencia:
>
>sendo f(x) = x^n , n pertencenta a N*+
>
>delta y /delta x  =  f'(x) = ( f( x + delta x) - f(x))/delta x  = ((x +
>delta x)^n - x^n)/delta x
>
>=
>(x^n*C n,0 + x^(n-1)*C n,1 *(delta x)+ x^(n-2)*C n,2 *(delta x)^2+  ... C
>n,n *(delta x)^n + - x^n)/(delta x)
>
>=
> x^(n-1)*C n,1 + x^(n-2)*C n,2 *(delta x)+ x^(n-3)*C n,3 *(delta x)^2  +
...
>C n,n *(delta x)^(n-1)
>
>f'(x) = lim delta y/ delta x (para delta x tendendo a 0) = x^(n-1)*Cn , 1 =
>n*x^(n - 1)
>
>então para f(x) = k*x^n , f'(x) = n*k*x^(n-1) , sendo que esse processo
pode
>ser feito
>
>para uma função polinômial f(x) = x^n + x^(n-1) + x( n - 2 ) + ... + c ,
>calculando a derivada de cada termo e somando de novo, e sendo c uma
>constante tal que
>a derivada f'(c) =  f( c ) - f(c))/delta x   =>   f'(x) = 0 .


Estou de acordo que este processo pode ser generalizado para uma
funcao polinomial, que eh uma soma (finita) de termos da forma a*x^n.
Mas aqui, temos uma "soma" com "pontinhos", que na realidade nao
eh uma soma, eh o limite de uma soma. Esta "derivacao termo a termo"
poderia nao funcionar.
Em outras palavras: eh verdade que a derivada da soma eh igual a soma
das derivadas. Mas serah verdade que a derivada do limite da soma eh igual
ao limite da soma das derivadas?
Vou dar uma dica: em geral NAO eh verdade (sao coisas deste tipo que
garantem
o emprego dos matematicos), mas neste caso especifico se justifica.
Na realidade, isto eh valido para "serie de potencias" = polinomio +
"pontinhos",
mas nao valeria, por exemplo, para uma serie do tipo:
sen(x)/1 + sen(2x)/2+ sen(3x)/3+ ...
(tais series tambem aparecem em Eletricidade e em Acustica. Sao as chamadas
series de Fourier).

>
>por isso a derivada de :
>1+x+x^2+x^3+ ... = 1/(1-x),
> =
>1+2x+3x^2+4x^3+ ... = 1/(1-x)^2
>
>pois : sendo f(x) = 1/(1-x) e usando o coceito de derivada acima':
>lim delta y /delta x  (para  delta x tendendo a 0)
>
>f'(x) =  [1/(1 - x - delta x) - 1/(1 - x)]/delta x
>f'(x) = 1/( 1 - x)^2  ou então como nossso amigo escreveu : f'(x) = 1/( x -
>1)^2
>
>Sugiro o livro  Fundamentos de matematica elementar V.8 para iniciantes.
>O estudo da derivada e da integral é muito importante para o entendimento
da
>física do
>3 ano, eletricidade.
>
>
>ps. alguém entendeu aquela questàozinha?
>que da (1,4), (1,8), (1,9), (1,15), (1,27), (1,32), (1,33), ... ?
>
>
>um abraço
>
>Heleno Meira
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: José Paulo Carneiro <jpcarneiro@openlink.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Friday, September 17, 1999 4:09 PM
>Subject: Re: Desafio...
>
>
>> Uma solucao alternativa para a turma da lista pensar
>> e justificar:
>>
>> 1+x+x^2+x^3+ ... = 1/(1-x),  se  -1<x<1
>>
>> Derivando termo a termo (Justifique!):
>>
>> 1+2x+3x^2+4x^3+ ... = 1/(1-x)^2
>>
>> Fazendo x=1/2, vem:
>>
>> 1+2/2+3/4+4/8+ .. = 4
>>
>> [A finalidade disto eh estimular os iniciantes da lista:
>> estudem "derivada" e um novo mundo se abrirah para
>> voces :-) ]
>>
>> Jose Paulo
>>
>>
>> -----Mensagem original-----
>> De: Ralph Costa Teixeira <ralph@visgraf.impa.br>
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Data: Quarta-feira, 15 de Setembro de 1999 23:18
>> Assunto: Re: Desafio...
>>
>>
>> >Todos os SOMA sao somatorios de k=0 a k=INFINITO
>> >
>> >Note que SOMA 1/2^k = 2
>> >
>> >Se S = SOMA k/2^k, entao:
>> >
>> >2S = SOMA k/2^(k-1) = SOMA (j+1)/2^j
>> >
>> >onde tomamos k=j+1 (o termo k=0 pode ser ignorado)
>> >
>> >2S = SOMA j/2^j + SOMA 1/2^j = S+2
>> >
>> >S=2
>> >
>> >Portanto, a resposta final eh:
>> >
>> >SOMA (n+1)/2^n = SOMA n/2^n + SOMA 1/2^n = S + 2 = 4
>> >
>> >Claro, falta provar que essas series de fato convergem para que possamos
>> >fazer essas manipulacoes... Para tanto, substitua os somatorios acima
>> >por somatorios FINITOS e veja que podemos fazer todos os calculos em
>> >funcao do numero N onde os somatorios terminam. Ai tome N -> INFINITO.
>> >
>> >Divirtam-se.
>> >
>> >Abraco, Ralph
>> >
>> >PS: Em geral, se S = SOMA (n^p)(q^n) para p e q constantes (somatorio em
>> >n), note que:
>> >
>> >Sq = SOMA (n^p)(q^n+1) = SOMA ((n-1)^p)(q^n)
>> >
>> >e entao
>> >
>> >S - Sq = SOMA [n^p - (n-1)^p] q^n
>> >
>> >e voce reduz o problema a um similar onde o grau do polinomio em n foi
>> >reduzido em uma unidade (para somatorios finitos, sobra um termo ou
>> >outro nas pontas do somatorio que voce pode separar). Deste modo, voce
>> >pode calcular a expressao acima para p=0,1,...,r e entao gerar a
>> >expressao para p=r+1...
>> >
>> >Perdao se isto nao faz muito sentido, estou com pouco tempo no
>> >momento...
>> >
>> >Abracos de novo,
>> > Ralph
>> >
>> >Eduardo Casagrande Stabel wrote:
>> >>
>> >> Esse eu inventei. Quanto vale:
>> >>
>> >> 1/1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + 6/32 + 7/64 + 8/128 + 9/256 + 10/512 +
>> 11/1024 + ... ?
>> >>
>> >> O termo generico eh  ( n+1 )/( 2^n ).
>> >> duda
>> >
>>
>