Simulada

["The Buddha's Son" <mocelim@xxxxxxxxxx>]

Caros, aí vai 5 questões que inventei semana passada, estão quentinhas:

PROBLEMA 1
Temos a seguinte seqüência infinita:

                             199911999999111999999999...

Encontre o 1999º dígito e a soma de todos os algarismos escritos até ele.

PROBLEMA 2
Três inteiros positivos x, y e z são chamados de amigos se e somente se

xyz + x + y + z = xy + xz + yz.

Determine todos os números que são amigos entre si.

PROBLEMA 3
São dados n cartões numerados de 1 a n (mais que 1999). O primeiro cartão
tem o número 1, o segundo cartão tem o número 2, ... , e o n-ésimo cartão
tem o número n > 1999. Mostre uma maneira de organizar os cartões lado a
lado de tal forma que a soma de quaisquer três números vizinhos seja igual a
9999.

PROBLEMA 4
Num baralho de Terra Brasilis, existem k cartas:

-    a cartas são comuns;
- b cartas são coringas;
- c cartas são a morte.

Considere 2a > 7b > 11c. Inicialmente todas as cartas estão lado a lado,
viradas ao avesso (não podemos ver que tipo de carta é). Cada carta pode ser
azul ou laranja. A probabilidade de uma carta comum ser laranja é 2/3. A
probabilidade de um curinga ser azul é 3/5 e a probabilidade de uma carta da
morte ser laranja é 1/6. Suponha que José tire ao acaso 99 cartas. Qual é a
probabilidade de que, entre estas, 33 sejam comuns, 33 sejam curingas e 33
sejam morte?

PROBLEMA 5

Num tabuleiro de xadrez (8x8), você deve distribuir, em cada casa, um
elemento do conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, ... , 64}, de maneira que a soma
dos números de uma coluna deve ser sempre o dobro da soma dos números de uma
das linhas. Dizer se isto é possível, e em caso positivo, mostrar uma
configuração. Justifique sua resposta.

Já resolvi a primeira (só tentei ela). Agora eu vou pôr mão na massa!
Boa sorte pra vcs!

Abraço,

Lucas