RES: heurística matemática

["Eric Campos" <mathfire@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
Lucelindo Dias F. Jr.
Enviada em: Terça-feira, 28 de Dezembro de 1999 16:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: heurística matemática


Oi pessoal,tudo bem ?Espero que sim!
Tenho uma dúvida.Li no livro -- A arte de resolver problemas--que ao iniciar
um problema deve-se começar com a sequinte indagação(problema de
demonstração); Existe um teorema com a mesma conclusão ou uma conclusão
semelhante a do referido problema?
Eu queria saber se existe outro meio para se começar um problema?

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Oi Lucelindo. Acho que nao sou a melhor pessoa para resolver essa sua
duvida, mas tenho o livro que vc citou "A Arte de Resolver Problemas". As
tecnicas que o Polya expoem sao muito gerais, mas vc tambem deve procurar
responder a essa mesma questao que o Polya tenta responder em seu livro.
Talvez encontre respostas ateh mais interessantes. Acho que ha casos em que
vc tem que "mexer" um pouco no problema para encontrar a solucao, nao eh soh
procurar "um teorema com a mesma conclusao ou conclusao semelhante". Por
exemplo, considere o problema  "Seja x(1), x(2), x(3), ... uma sequencia de
numeros reais nao negativos satisfazendo:

[1]   x(n) = x(n-2)*x(n-1)/(2*x(n-2)-x(n-1)) para n = 3, 4, 5, ...

Estabeleca uma condicao necessaria e suficiente em x(1) e x(2) para x(n) ser
inteiro para uma infinidade de valores de n"

Veja bem, Lucelindo, que teorema sobre sequencias poderia ter a conclusao de
que ha infinitos termos de uma sucessao que sao inteiros? Nao me lembro de
nenhum teorema importante ou nao trivial que tenha essa conclusao. Mas ai vc
"mexe" um pouco em [1], vendo que fazendo y(n) = 1/x(n), temos que y(n) eh
PA. Quer dizer, uma "mudanca de variavel", uma "mexida" numa parte que me
parecia "problematica" no problema fez com que a resolucao do problema
"dificil" fosse equivalente a resolucao de um problema mais facil, porque ja
conhecemos bastante as PA's, sabemos como elas se comportam.
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Queria saber também o que o autor quis dizer com conclusão semelhante?

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Digamos que vc esta resolvendo um problema de geometria assim: provar que a
soma das areas dos triangulos equilateros construidos sobre os catetos de um
triangulo retangulo eh igual a area do triangulo equilatero construido sobre
a hipotenusa. Se fossem quadrados em vez de triangulos, seria o teorema de
Pitagoras. A conclusao eh semelhante (todo o problema eh) ao teorema de
Pitagoras, so que em vez de quadrados construidos sobre os lados de um
triangulo retangulo, vc tem triangulos equilateros (no lugar dos quadrados).
Podemos resolver o problema assim.
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Se duas conclusões tiverem um ponto em comum elas são ditas semelhantes?

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Acho que a resposta eh sim. Digamos que vc quer mostrar que em centimetros o
comprimento de certo segmeto AB eh a soma de dois quadrados perfeitos. Ora,
isso se parece um pouco com o Teorema de Pitagoras, a conclusao tem algo a
ver, Se voce construir um triangulo retangulo em que os catetos medem um
numero inteiro de centimetros e a hipotenusa mede AB, o problema estarah
resolvido.
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Essa dúvida  é  muito antiga.Por isso se ela for tirada tirarei um grande
peso das minhas costas.Agradeço antecipadamente a qualquer esclarecimento a
respeito disso.

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Uma dica, tente pensar a respeito dessas questoes que vc mesmo levantou,
tente responder com exemplos variados.
Uma duvida, o que o levou a tais indagacoes?

Eric.