Re: A Raz�o �urea

["Jos� Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Eh verdade:
Sao muito curiosas as propriedades do numero de ouro e
da sequencia de Fibonacci. A proposito, voces viram a
ultima questao da Olimpiada Estadual do RJ-99?
Eh a seguinte (mais ou menos, enuncio de cabeca):
As duas sequencias:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
e
1, 3, 4, 7, 11, ...
Sao ambas tais que cada termo eh a soma dos dois anteriores.
Mostre que: a) Nenhum termo da segunda sequencia eh multiplo de 5.
b) dado um inteiro positivo arbitrario m, existe sempre algum termo da
primeira sequencia que eh multiplo de m.

Observacoes: a segunda sequencia eh chamada "sequencia de Lucas".
O item a) eh muito facil, mas o item b) eh bem interessante.
Jose Paulo

-----Mensagem original-----
De: Bruno Leite <superbr@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 22 de Dezembro de 1999 01:14
Assunto: A Raz�o �urea


>>From: mparaujo@uninet.com.br
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re. Ainda sobre sen 36
>>Date: Tue, 21 Dec 1999 23:27:44 -300
>>
>>Para encontrar o seno e o cosseno de 36 eu utilizo o tri�ngulo �ureo
>> >(is�sceles com �ngulo do v�rtice 36 graus)ABC. Tra�o a bissetriz de >um
>>dos �ngulos da base (BD) e tenho uma semelhan�a entre os >tri�ngulos BDC e
>>ABC. Se a base BC mede x e os outros lados medem 1, >temos: (1-x)/x  = x .
>>portanto x =[sqrt(5) - 1]/2 ent�o tra�ando a >altura encontro sen 18 =
>>[sqrt(5) - 1]/4
>>encontrar o cosseno de 36 deve ser  f�cil.
>>
>>O n�mero [sqrt(5) - 1]/2  � chamado PHI assim como phi = >[1-sqrt(5)]/2
>>esses
>>
>>n�meros (PHI e phi) t�m v�rias prorpiedades que j� devem ter sido
>> >discutidas nessa lista (se n�o deveria) e s�o chamados n�meros de
>ouro!!
>>Por exemplo a raz�o entre n�meros consecutivos da sequancia de >fibonacci
�
>>PHI!
>>
>>
>>PHI = 1+1/(1+1/(1+1/...)
>>
>>Espero ter ajudado!
>>
>>Marcos Paulo
>>http://unimail.unisys.com.br
>
>O n�mero PHI, como disse o Marcos, ou "golden mean", na verdade � o LIMITE
>(n tendendo a infinito)de f(n+1)/f(n) sendo f(n) e f(n+1) termos
>consecutivos da sequ�ncia de Fibonacci (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,etc)
>
>Outras propriedades interessantes desse n�mero podem ser achadas em
>http://www.mathsoft.com/asolve/constant/gold/gold.html
>
>Uma delas �:
>se  g(1)=1
>e   g(n+1)=sqrt[g(n)+1]
>
>Temos, para n=infinito, g(n)=a raz�o �urea (ou PHI, ou golden number)
>
>� claro que esse n�mero �
>sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+...
>
>Para terminar, esse n�mero aparece bastante na arquitetura "cl�ssica". Eu
j�
>vi uma vez um livro que destacava partes de v�rias constru��es da
>antiguidade (teatros, monumentos, edif�cios em geral, etc) onde essa raz�o
>aparecia frequentemente.
>
>At� dia 2 de janeiro.(estarei ausente 10 ou 11 dias)
>Feliz Natal a todos!
>
>Bruno Leite
>______________________________________________________
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>