Problema IME 76/77

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

> 1) (IME-76/77) Seja P3(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5) + k(x + 2)(x + 4), onde x
> pertence a C (complexos). Determine o lugar geométrico das raízes de P3(x)
> quando k assume os valores em R+, desenhando este lugar geométrico no plano
> complexo.

	Eu acho que posso ajudar com essa. "No plano complexo" parece ser uma
distracao. O polinomio de grau 3 tem 3 raizes reais, pois

	P(-INF) vai para -INF < 0;	P(-5)=3k>0
	P(-4)=3>0;			P(-3)=-k<0
	P(-2)=-3<0;			P(-1)=3k>0
	
	As raizes estao uma em (-INF,-5), uma em (-4,-3), outra em (-2,-1). Por
outro lado, seja p um numero qualquer em um desses intervalos (abertos).
Faca uma analise rapida de sinais para ver que:

	q=-(p+1)(p+3)(p+5)/[(p+2)(p+4)]

	e positivo. Portanto, ha um valor de k positivo (esse aih acima, q) que
da p como raiz. Assim, a resposta eh:

	(-INF,-5) U (-4,-3) U (-2,-1)