Re: problema de Geom do IME

["Fábio Costa" <fabiocos@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Ola a todos..acho que posso ajudar um pouco nessa questao, so nao sei se o
que vou escrever esta correto:

Chame de W o ponto de encontro de duas das circunferencias, por exemplo, a
que passa por AZY e a que passa por CXY. Dessa forma, o quadrilatero AZWY é
inscritivel e o angulo ZWY mede (180 - A). O mesmo vale para o quadrilatero
CXWY e o angulo YWX mede (180 - C)
Assim, o angulo ZWX do quadrilatero BZWX mede 360 - (180-A) - (180 - C) = A
+ C
Entao ZWX + ZBX = A + B + C = 180, portanto o quadrilatero BZWY tambem e
inscritivel e consequentemente as tres circunferencias do problema se cruzam
em W.

Um abraco a todos,
                                       Fabio
-----Mensagem original-----
De: Bruno Leite <superbr@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 23 de Novembro de 1999 16:10
Assunto: problema de Geom do IME


>>3) (IME-85/86) Considere um triângulo ABC qualquer e três pontos X, Y >e Z
>>tais que X pertence a BC, Y pertence a AC e Z pertence a AB. >Considere os
>>círculos (C1), (C2) e (C3) que passam respectivamente >pelos pontos CXY,
>>AYZ e BXY. Demonstre que (C1), (C2) e (C3) se >encontram em um ponto W.
>
>O enunciado está errado, não? Assim, é claro que todos passam por Y...
>
>Eu acho que o problema é assim, confirme depois...
>"Considere um triângulo ABC qualquer e três pontos X, Y e Z tais que X
>pertence a BC, Y pertence a AC e Z pertence a AB. Considere os círculos
>(C1), (C2) e (C3) que passam respectivamente pelos pontos CXY, AYZ e ###
BXZ
>###. Demonstre que (C1), (C2) e (C3) se encontram em um ponto W."
>
>Isto na verdade é um teorema. Parece-me injusto que se cobre isso pois quem
>sabe o teorema faz na hora (vai ter que lembrar da demonstração) e quem não
>sabe terá uma bela tarefa a fazer. O teorema de Pivot (parece que é o nome
>disso aí) foi provado por A.Miquel(1838),que devia ser um matemático
>profissional. Se for isso mesmo, acho estranho cobrar isto de um
>vestibulando...Eu sou incapaz de prová-lo sem uma figura, e a dem. que
>conheço não é muito fácil.
>
>Bruno Leite
>
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