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(IME-94/95) Prove que x^999 + x^888 + ... +
x^111 + 1 é divisível por x^9 + x^8 + ... + x +
1.
Basta notar que x^9 + x^8 + ...
+ x + 1 = (x^10 - 1)/(x - 1) ou seja, todas as 9 raízes de x^9 +
x^8 + ... + x + 1 satisfazem x^10 = 1
Como x^999 + x^888 + ... + x^111
+ 1 = (x^1110 - 1)/(x^111 - 1) então todas as 999
raízes de x^999 + x^888 + ... + x^111 + 1 satisfazem
x^1110 = 1.
Como x^1110 =
(x^10)^111 e as 9 raízes de x^9 + x^8 + ... + x + 1
satisfazem x^10 = 1, então estas nove raízes também
satisfazem x^1110 = 1, implicando que todas estas nove raízes
também são raízes de x^999 + x^888 + ... + x^111 +
1.
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| | Marcelo Rufino de Oliveira /| |\ Engenharia Mecânica-Aeronáutica / | | \ ITA Turma-99 / | | \ /---- | | ----\ /_\
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