Re: Provas fáceis do IME...............

["Marcelo Rufino de Oliveira" <rufino@xxxxxxxxxxxxx>]

   Depois que li as últimas declarações sobre a "facilidade" da prova do IME
deste ano eu resolvi não mais me meter no assunto, pois eu notei uma certa
inflexibilidade nas declarações. Só queria reforçar minha opinião: acho as
provas antigas do IME muito interessantes e desafiadoras, mas seus efeitos
na classificação dos alunos no vestibular não são adequados. Comparada com
as provas de antigamente a prova deste ano estava em um nível abaixo, mas
mesmo assim acredito que nem 20% dos vestibulandos vão conseguir
gabaritá-la, principalmente pelo tempo disponível para resolvê-la.
   Em contrapartida resolvi passar algumas questões antigas do IME, que eu
nunca consegui resolver, para os integrantes da lista. Aí vai:

1) (IME-76/77) Seja P3(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5) + k(x + 2)(x + 4), onde x
pertence a C. Determine o lugar geométrico das raízes de P3(x) quando k
assume os valores em R+, desenhando este lugar geométrico no plano complexo.

2) (IME-87/88) Mostre que por todo ponto não situado sobre o eixo Ox passam
exatamente duas parábolas com foco na origem e eixo de simetria Ox e que
estas parábolas interceptam-se ortogonalmente.

3) (IME-85/86) Considere um triângulo ABC qualquer e três pontos X, Y e Z
tais que X pertence a BC, Y pertence a AC e Z pertence a AB. Considere os
círculos (C1), (C2) e (C3) que passam respectivamente pelos pontos CXY, AYZ
e BXY. Demonstre que (C1), (C2) e (C3) se encontram em um ponto W.

A questão seguinte eu consegui fazer, mas ficou muito grande a minha
resolução, queria saber se alguém tem alguma resolução menor para ela.
Também é do IME, só que não sei o ano em que foi aplicada:

4) (IME) Prove que quando os arcos x e y verificam a relação a.sen x.sen y +
b.cos x.cos y = 0, a expressão
                     1/[a.(sen x)^2 + b.(cos x)^2]  +  1/[a.(sen y)^2 +
b.(cos y)^2]
é independente de x e y.

Até mais.

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       | |                 Marcelo Rufino de Oliveira
      /| |\               Engenharia Mecânica-Aeronáutica
    /  | |  \             ITA   Turma-99
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