Questao 10 do
IME
Considere
quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o
produto:
(a-b) (c-a) (d-a) (d-c) (d-b)
(c-b)
é divisível por 12 .
Obviamente consideremos que todos os números sao distintos, pois
se 2 forem iguais o produto serah 0, que é divisível por 12
I)
Inicialmente provemos que o produto eh divisivel por 4
Se todos os 4 numeros
forem impares ou pares as diferencas serao todas pares e o produto serah
divisivel por 26 = 16
Se 1 for par e 3
impares, teremos 3 diferencas pares (as que envolvem os termos impares), e o
produto eh divisivel por 23 = 8
Se 1 for impar e 3
pares teremos novamente 3 diferencas pares (as que envolvem os termos pares), e
o produto eh divisivel por 23 = 8
Se 2 forem pares e 2
impares teremos 2 diferencas pares (a que envolve os termos impares e a que
envolve os termos pares), e o produto eh divisivel por
22 = 4
Como vemos o caso
mais critico eh o ultimo, implicando que sempre o produto eh divisivel pelo
menos por 4.
II)
Agora provemos que o produto eh divisivel por 3
Se dois numeros forem
divisiveis por 3 entao sua diferenca tambem serah, implicando que o produto
tambem seja divisivel por 3. Suponhamos entao que nao existam dois numeros
divisiveis por 3. Ou seja, 3 numeros sao da forma 3x ± 1.
1- Se for: 3x + 1, 3y +
1, 3z + 1 temos 3 diferencas
divisiveis por 3:
(3x+1-3y-1)(3x+1-3z-1)(3y+1-3z-1) = 27(x-y)(x-z)(y-z)
2 - Se for: 3x + 1,
3y + 1, 3z – 1 temos 1
diferenca divisivel por 3:
(3x+1-3y-1)(3x+1-3z+1)(3y+1-3z+1) = 3(x-y)(3x-3z+2)(3y-3z+2)
3 - Se for:
3x + 1, 3y – 1, 3z – 1
temos 1 diferenca divisivel por 3:
Semelhante ao caso
2
4 - Se for: 3x – 1, 3y – 1, 3z – 1 temos 3 diferencas divisiveis por
3:
Semelhante ao caso
1
Portanto sempre teremos o produto divisível por
3
Como o produto eh
divisivel por 3 e por 4 entao eh divisivel por 12.
Marcelo Rufino