Prova de Mat. do IME

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caros da Lista,
Saudacoes !

A prova que esta na home-page do IME e realmente a prova que foi proposta ? 
Eu acho que nao e ... Sinceramente acredito que alguem colocou a prova 
errada la. Todavia, vou apresentar a solucao da 2 questao, a unica que me 
parece nao ser de solucao imediata... Sete outras questoes sao evidentes e 
duas outras meramente trabalhosas : se realmente for a prova do IME calculo 
que a imensa maioria dos alunos vai gabarita-la ...

Se os colegas desejarem, apresento a solucao das demais : nao obstante 
imaginar que todos daqui farao, com facilidade, todas as questoes !

2 questao

Claramente que a solucao, caso exista, vai ser diferente de "a", "b" e "c", 
visto que se nao for assim teremos denominadores iguais a zero. E tambem 
claro que os denominadores sao irredutiveis e, portanto, o MMC entre eles e 
precisamente o produto. Multiplicando ambos os membros da equacao por este 
MMC chegamos a:

(x-b)(x-c) + (x-a)(x-c) + (x-a)(x-b) = 0

Efetuando os produtos e reduzindo ostermos semelhantes chegamos a:

3x^2 -2(a+b+c)x + ab+ac+bc = 0

Seja "D" o discriminante desta equacao: afirmo que este discriminante e 
positivo ! Com efeito, dado que "a", "b" e "c" sao dois a dois distintos, 
podemos por:

(a-b)^2 > 0  => a^2 + b^2 > 2ab
(a-c)^2 > 0  => a^2 + c^2 > 2ac
(b-c)^2 > 0  => b^2 + c^2 > 2bc

somando tudo : 2(a^2 + b^2 + c^2) > 2(ab + ac + bc)
donde: a^2 + b^2 + c^2 > ab + ac + bc. Somando "2ab + 2ac + 2bc" a ambos os 
membros da desigualdade chegamos a:

(a + b + c)^2 > 3(ab + ac + bc) => 4(a + b + c)^2 > 12(ab+ac+bc)
4(a+b+c)^2 - 12(ab+ac+bc) > 0

Assim, fica provado que o discriminante e positivo e, portanto, a equacao 
tem duas raizes reais e distintas. Sejam x1 e x2 essas raizes.

Afirmo que para qualquer das raizes, que representarei aqui genericamente 
por y, nao pode ocorrer y < a < b < c.
Para se ver isso, note que:

y-a < 0 => 1/(y-a) < 0
y-b < 0 => 1/(y-b) < 0
y-c < 0 => 1/(y-c) < 0

logo 1/(y-a)  +  1/(y-b)  +  1/(y-c)  < 0, um absurdo, pois sendo y uma 
qualquer das raizes x1 ou x2, deveriamos ter uma igualdade. Assim, nao sendo 
possivel sustentar nossa tese somos obrigados a admitir que y ( aqui y e 
qualquer das raizes ) y > a.

Usando um raciocinio identico podemos mostrar que nao pode ser
a < b < c < y, dado que teriamos;

y-a > 0 => 1/(y-a) > 0
y-b > 0 => 1/(y-b) > 0
y-c > 0 => 1/(y-c) > 0

logo 1/(y-a)  +  1/(y-b)  +  1/(y-c)  > 0, um absurdo !

Fica assim  provado que qualquer que seja a raiz ela deve ser tal que a < y 
< c ( nao uso "menor ou igual" porque isso implica em anular o denominador 
de uma das fracoes ).

Pode ocorrer : a < x1 < x2 < b < c ? Afirmo que nao. para ver issO :

Note, a principio, que:
1/(x1-a) = 1/(b-x1)  +  1/(c-x1)

de a < x1 < x2 => x1-a < x2-a => 1/(x1-a) > 1/(x2-a) (A)

mas: b-x1 > b-x2 => 1/(b-x1) < 1/(b-x2)
igualmente: c-x1 > c-x2 => 1/(c-x1) < 1/(c-x2)

logo: 1/(b-x2) + 1/(c-x2) > 1/(b-x1) + 1/(c-x1)
mas  1/(b-x1) + 1/(c-x1) = 1/(x1-a), logo:
1/(b-x2) + 1/(c-x2) > 1/(x1-a) Um absurdo ! pois :
1/(b-x2) + 1/(c-x2) = 1/(x2-a) o que levaria a 1/(x2-a) > 1/(x1-a) quando ja 
sabemos, por (A), que o contrario e que e verdadeiro !

De forma analoga pode-se mostrar que nao pode ser:
a < b < x1 < x2 < c.Assim, so resta a possibilidade:

a < x1 < b < x2 < c

Como Queriamos Demonstrar !

Cabe ao Engenheiros cuidar do desenvolvimento tecnologico do Pais. Isso 
exige conhecimento, mas tambem e sobretudo, IMAGINACAO E CRIATIVIDADE. Seria 
bom que as provas de ingressos exigem isso dos estudantes ...

Um Grando Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
6,1033,191199

1/(x1-a) > 1/(x2-a)

______________________________________________________
Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com