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Questão da prova do IME:
Expressar por um polinomio de grau três a soma dos
n primeiros quadrados perfeitos.
Ora, como todos sabemos a resposta é simples: 1
+ 2^2 + ... + n^2 =n(n+1)(2n+1)/6
e pode ser encontrada facilmente fazendo
utilizando-se da diferença de cubos, a saber, (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 +3n +1. Daí
fazemos:
1^3 = 1
2^3 - 1^3 = 3.1^2 + 3.1 + 1
3^3 - 2^3 = 3.2^2 + 3.2 + 1
.............= ......................
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 +3n +1
somando - se os membros temos a fórmula
desejada:
Se S = 1 + 2^2 + ... + n^2 ,
temos:
(n+1)^3 = 3.S + 3 (1+n)*n/2 +(1+n) e daí por
diante.
Pois bem. Os
quadrados perfeitos formam o q chamamos PA de segunda ordem ( as diferenças
entre os termos formam uma PA).
Minhas perguntas são as seguintes:1) Há alguma
maneira de encontrar em função de n e do primeiro termo a soma de uma PA de
ordem 3 - note que a resposta é afirmativa no caso da sequencia formada pelas
somas dos quadrados (verifique que essa sequencia é uma PA de ordem 3, ou seja
as diferenças das diferenças estão em PA) - e uma PA de ordem n??? há
generalização para sua soma?
2) Ouvi um teorema há muito tempo que dizia
que "A soma dos termos de uma PA de ordem n é sempre um polinômio de grau
n+1". É verdade? alguém conhece a demonstração desse teorema???
Obrigado pela atenção!
Marcos Paulo F. Araujo
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