Re: Álgebra

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Oi, Bruno.

Bruno Leite wrote:
> 1)Seja m uma raiz da equação x^3-3x+1=0.
> a)Racionalize 1/m
	Nao sei se eu sei o que eles querem... mas talvez seja isso:
	1/m = (m^2-3) / (m^3-3m) = (m^2-3)/(-1) = 3-m^2
	e esta não tem "denominadores explícitos"... Será que é isto?

> b)Prove que m^2-2 é outra raiz da mesma equação
	Voce fez, ok. Sao m, m^2-2 e -m^2-m+2.
> --------------
> 2)Seja a=  [raizcubica(3+sqrt2) + 5]
> a) Encontre um polinômio de coeficientes racionais do qual a seja raiz
> b)Racionalize 1/a
	Se eu entendi o que eles querem, faça como em 1. Primeiro, note que:

	((a-5)^3-3)^2=2
	
	Entao o polinomio pedido é P(x)=((a-5)^3-3)^2-2 (eles nao pediram para
expandi-lo). Note que P(0)=((-5)^3-3)^2-2 = 128^2-2 = 16382 é o
coeficiente independente de P(x).

	Entao P(x)-16382 é divisível por x, isto é 1-P(x)/16382=xQ(x) (onde
Q(x) é um polinomio de grau 5).

	Mas como P(a)=0, Q(a) = (1-P(a)/16382)/a = 1/a, isto é,
	Q(a) é uma racionalização de 1/a. O trabalho de escrever Q(a) por
extenso eu deixo para voces... ;) Aqui está o resultado não
desenvolvido:

	1/a = {[16382-((a-5)^3-3)^2-2)]/a} /16382

> 3)Resolva nos reais (x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=19

	Como o Nicolau sugeriu, use y=x+2.5 e caia numa biquadrada.

> 4)Esse parece ser o mais interessante.
> Temos que a^3-3a^2+5a=1  e  b^3-3b^2+5b=5 onde a,b são reais. Calcule a+b.

	Tomando a=x+1 e b=y+1, note que:

	x^3+2x=-2; y^3+2y=2

	Se voce souber provar que cada uma destas soh tem uma solucao, ve-se
que x=-y e voce termina o problema. Senao, voce pode trabalhar mais
somando-as:

	(x+y)(x^2-xy+y^2+2)=0

	Mas note que o termo da direita eh ((x-y)^2+x^2+y^2+4)/2 > 0. Entao
x+y=0 e a+b=x+y+2=2.

	(Equivalentemente, somando as equações do começo e fatorando:

	(a+b-2)(a^2+b^2-ab-a-b+3)=0
	e o lado direito é
	[(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2+4]/2

	mas eu acho difícil achar esta fatoração direto assim)