Re: Problema

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxx>]

	Espera ai um pouco gente. Esta solucao nao funciona pois nao temos
como saber que a, b e c sao os unicos divisores do numero abc, mesmo
quando a, b e c sao positivos. Temos ainda ab, ac, bc, e outros
dependendo de quem sao os divisores de a, b e c separadamente... Isto soh
funciona se voce supuser que a=1 e b e c sao primos.

	Eu consegui uma solucao para este problema mas ela eh meio
feia. Primeiro, note que (a,b,c) e solucao se e somente se (-a,-b,-c) e
solucao (e se e somente se as permutacoes de (a,b,c) sao solucoes). Assim,
ha basicamente tres casos a considerar:

i) Pelo menos um deles e nulo (digamos, a):
	a=0 implica b+c=0
	Isto gera as solucoes do tipo (0,t,-t) e permutacoes. E facil
verificar que (0,t,-t) eh solucao para qualquer t inteiro.

ii) Todos positivos (a,b,c>0)
	a(bc-1)=b+c
	Se a=1, bc-1=b+c; (b-1)(c-1)=2; b-1 e c-1 sao divisores nao
negativos de 2; b-1=1 e c-1=2 (ou vice-versa); {a,b,c}={1,2,3} e solucao.

	Se a>=2, entao 2(bc-1)<=b+c; (2b-1)(2c-1)<=5; 2b-1 e 2c-1 sao
nao negativos, impares, divisores de 1,3 ou 5.
	2b-1=2c-1=1 gera b=c=1 (nao presta).
	2b-1=1, 2c-1=3 gera b=1, c=2, a=3 (ja achada)
	2b-1=1, 2c-1=5 gera b=1, c=3, a=2 (ja achada) 	

ii) Um negativo e dois positivos (digamos, a<0, b,c>0)
	a(bc-1)=b+c>0, entao bc-1<0; bc<1; contradicao.	

	Se ha outra combinacao de sinais, olhe para (-a,-b,-c) e voce vai
cair num dos casos anteriores.

	RESPOSTA:

	Solucoes: {a,b,c}={1,2,3};{-1,-2,-3};{0,t,-t}.


> >   Aqui caímos no conceito de número perfeito, onde a soma de seus 
> >divisores
> >é igual ao próprio número - claro, não podemos então somar o próprio
> >número -.
> >
> >   O 6 é o único com 3 divisores. Sendo assim, as possibilidades são: (0, 
> >0,
> >0), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2), (2, 3, 1) e (1, 3, 2)
> >
> >-----Mensagem Original-----
> >De: Bruno Leite <superbr@hotmail.com>
> >Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Enviada em: Sábado, 30 de Outubro de 1999 22:30
> >Assunto: Problema
> >
> >
> >
> >
> >Um problema nem fácil nem difícil:
> >"Achar todas as soluções INTEIRAS de a+b+c=abc"
> >
> >A minha solução é meio comprida, quem achar alguma por favor mande.
> >
> >Bruno Leite
> >
> Eu não tinha pensado assim. É BEM mais fácil, mas vc assim só acha as 
> soluções naturais...
> 
> Bruno Leite
> 
> ______________________________________________________
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>