Notação : G(K|Q) =: G o grupo de Galois de K|Q (galoisiana), 𝔒 é o anel de inteiros de K. X é o conjunto dos primos 𝔭 em 𝔒 tais que 𝔭 ∩ Z não ramifica em K|Q (isto é, o conjunto dos ideais primos que não dividem o diferente). Dado um ideal primo de 𝔭 ∈ X, (𝔭, K|Q) denota o elemento de Frobenius associado a 𝔭|p. O elemento de Frobenius é um automorfismo de K que fixa 𝔭 e reduzindo induz o Frobenius em F_{p}, p = Z ∩ 𝔭, explicitamente

(𝔭, K|Q)z ≡ z^{p} mod 𝔭, z ∈ 𝔒.

O truque é usar o Teorema de densidade de Frobenius, que diz:

Teorema 1. Dado um σ ∈ G, o conjunto de primos S_{σ} := {𝔭 ∈ X; σ = (𝔭, K|Q)} tem densidade (no sentido de Dirichlet, isto é, o limite

lim_{s→1^{+}} \frac{∑𝔭∈S_{σ} \frac{1}{N𝔭^{s}}}{log(s − 1)}

existe e é positivo). Em particular é infinito.

A título de informação , se eu não me engano, a densidade é \frac{1}{|G|} (com certeza é no caso abeliano). Agora seja f = (X − x_{1}) ⋯ (X − x_{m}) ∈ Z[X] mônico (pra facilitar) e seja K o corpo de raízes.

Assumindo que para todo primo p, a redução módulo p de f possui uma raíz é o mesmo que: Para todo primo 𝔭 ∈ X, existe x_{i} tal que (𝔭, K|Q)x_{i} − x_{i} ∈ 𝔭, ou ⋃ T_{i} = X, onde T_{i} = {𝔭 ∈ X; (𝔭, K|Q)x_{i} ≡ x_{i} mod 𝔭}.

Defina S_{σ} = {𝔭 ∈ X; σ = (𝔭, K|Q)}. Portanto S_{σ} ∩ T_{i} ⊂ {𝔭 ∈ X; σx_{i} − x_{i} ∈ 𝔭} e tomando união S_{σ} ⊂ ⋃_{i}{𝔭 ∈ X; σx_{i} − x_{i} ∈ 𝔭}. Assim, basta verificar que ⋃_{i}{𝔭 ∈ X; σx_{i} − x_{i} ∈ 𝔭} é finito, para algum σ, ou seja, existe um σ ∈ G que não fixa elemento algum de {x_{1} …, x_{m}}. Mas eu acho que isso é feito contando elementos, isto é, ⋃_{i} G(K|Q(x_{i})) ≠ G.

Bacana que ainda prova um resultado famoso (do Kronecker) que diz que se um número algébrico reduz a um racional no corpo residual, então está em Q.