{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 
258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 
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{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal
" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 
1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 
0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT 256 48 "MAT1154 - Equa\347\365e
s Diferenciais e de Diferen\347as " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 257 78 "
No\347\365es Elementares de Utiliza\347\343o do MAPLE para Estudo de E
qua\347\365es Diferenciais" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 3 "por" }}
{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Marco Antonio Grivet Mattoso Maia\n" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 34 "restart;with(DEtools);with(plots);" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" 
{TEXT -1 22 "  Vari\341veis Separ\341veis" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Considere a seguinte EDO :" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
46 "ode := diff(y(t),t)= y(t)*cos(t)/(1+2*y(t)^2);" }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Podemos tentar classifi
c\341-la, descobrindo se ela \351 linear ou n\343o:" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "odeadvisor
(ode,[linear]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 58 "Podemos verificar se ela \351 de vari\341veis separ\341ve
is ou n\343o:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "odeadvisor(ode,[separable]);" }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "Uma vez que sabemos qu
e a EDO \351 de vari\341veis separ\341veis, podemos procurar sua solu
\347\343o nesta categoria:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "ini := y(0)=C;" }{TEXT -1 0 "" }
{MPLTEXT 1 0 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "sol :=
 dsolve(\{ode,ini\},\{y(t)\},[separable] ); " }}}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "A " }{TEXT 261 17 "solu
\347\343o expl\355cita" }{TEXT -1 44 " envolve uma fun\347\343o n\343o
 usual denominada de " }{TEXT 258 11 "LambertW , " }{TEXT -1 34 "cuja \+
defini\347\343o pode ser encontrada" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "no
 help do Maple." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 23 "Podemos ent\343o buscar a " }{TEXT 260 15 "forma impl\355
cita" }{TEXT -1 82 " da solu\347\343o por meio de c\341lculos semelhan
tes aos que foram feitos em sala de aula." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
75 "Primeiro multiplicamos a equa\347\343o para colocar na forma N(y).
y'(t) = - M(x);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "sep_ode := (1+2*y(t)^2) / y(t) * ode;" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Integrand
o ambos os membros, utilizando o comando " }{TEXT 259 3 "map" }{TEXT 
-1 9 ", tem-se:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "int_sep_ode := map(Int,sep_ode,t);" }}}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "Efetuando as in
tegrais indefinidas e somando uma constante de integra\347\343o em um \+
lado da equa\347\343o, " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "gen_imp_sol := value(int_sep_ode) +
 (0=K);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
100 "Sabe-se que essa forma impl\355cita F(x,y) = K representa \"curva
s de n\355vel\" de cota K da fun\347\343o F(x,y)." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "F:=lhs(gen_i
mp_sol)-rhs(gen_imp_sol)+K;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "que pode ser visualizada pelo comando " }{TEXT 
262 12 "implicitplot" }{TEXT -1 13 " como abaixo:" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 103 "implicitplo
t(\{F(t,y)=1,F(t,y)=2,F(t,y)=3\},t=-8..8,y=0..5,color=aquamarine, thic
kness=2,grid=[100,100]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 
3 "" 0 "" {TEXT -1 18 "  Vari\341veis Exatas" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "with
( DEtools ):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with( plots ):" }}
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "with( linalg ):" }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Considere as seguintes \+
fun\347\365es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "M:=(x,y)->y*cos(x)+2*x*exp(y);" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "N:=(x,y)->sin(x)+x^2*exp(y)-1;" }}}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "e considere a s
eguinte equa\347\343o:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "gen_exact_ode := M(x,y(x)) + N(x,y(
x))*diff(y(x),x) = 0;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 90 "Ser\341 que esta equa\347\343o \351 linear ou separ
\341vel ou exata ? Podemos investigar via odeadvisor :" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "odeadvi
sor(gen_exact_ode,[linear]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 38 "odeadvisor(gen_exact_ode,[separable]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "odeadvisor(gen_exact_ode,[exact]);" }}}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "Esta condi\347\343
o pode ser verificada por meio do Teorema 2.6.1 do livro texto:" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
30 "diff(M(x,y),y)-diff(N(x,y),x);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }
}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Vamos integrar M em rela\347\343o a x pa
ra gerar um candidato da fun\347\343o FI, a menos de uma fun\347\343o \+
h(x):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 33 "Mint := value(map(Int,M(x,y),x));" }{TEXT -1 0 "" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "Se agora
 derivarmos este candidado e subtrairmos de N(x,y), teremos a derivada
 de h(x) em rela\347\343o a x:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dh(x) := diff(Mint,y)-N(x,y)
;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "cuj
a integral vale :" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "h:=value(map(Int,dh(x),x));" }}}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Assim a solu\347\343o \+
impl\355cita da equa\347\343o \351 FI(x,y)=C onde :" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "FI := Mint
+h;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "S
e agora quizermos que o MAPLE nos gere a solu\347\343o expl\355cita da
 equa\347\343o exata, tem-se:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "sol := dsolve(\{gen_exact_od
e\},\{y(x)\},[exact] ); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Podemos visualisar
 algumas curvas de n\355vel de FI conforme abaixo:" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 99 "implicitplot
(\{FI(x,y)=1,FI(x,y)=2,FI(x,y)=3\},x=-8..8,y=0..5,color=red, thickness
=2,grid=[100,100]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{MARK "4" 0 }
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