Em torno de superfícies mínimas e de curvatura média constante

Ricardo Sá Earp

Resumo do Projeto: Descrevendo a linha sucintamente, visa-se estudar a teoria geométrica das imersões mínimas ou de curvatura média constante nos espaços homogêneos tridimensionais simplesmente conexos. Tais espaços aparecem dentro dos 8 modelos de geometrias de Thurston. Há vários problemas geométricos interessantes a serem

exploradas nestes espaços homogêneos tridimensionais, alguns são extensões –mudando o que tem que ser mudado- de seus correspondentes Euclideanos, e outros são inteiramente surpreendentes. O projeto abrange questões da teoria das hipersuperfícies mínimas (ou com curvatura média constante) em

Mⁿ×R^k, onde Mⁿ é uma variedade Riemanniana de dimensão n e R^k é um espaço Euclideano de dimensão k. Mais geralmente, envolve o estudo de hipersuperfícies mínimas em variedades Riemannianas. Há vários problemas em abertos, projetos ainda não desenvolvidos interessantes no tema e estudos já estabelecidos no assunto, que poderão servir de tema para futuros alunos de doutorado e de mestrado. As hipersuperfícies mínimas ou de curvatura média constante são pontos críticos de um funcional volume. Em 1917 houve a publicação do famoso teorema de Bernstein (1917) sobre gráficos mínimos no R³. O estudo analítico-geométrico das EDP elípticas dadas pela equação da curvatura média e seu liame com a Geometria Diferencial tem se desenvolvido desde então. Disto surgem várias direções de pesquisa centradas na teoria das hipersuperfícies mínimas ou de curvatura média constante. Há um acirrado estudo analítico-geométrico sobre o assunto.

Destacamos que a linha de pesquisa da Geometria Diferencial em torno do projeto global de estudar a geometria das superfícies mínimas e de curvatura média constante em variedades homogêneas tridimensionais é de candente atualidade. De fato, depois da pesquisa intensa nas últimas décadas sobre as superfícies mínimas ou de curvatura média constante nos espaços de curvatura constante (R³, S³, H³), agora a atenção dos geômetras da área está voltada para os espaços modelos da classificação de Thurston, entre eles H²× R, onde há muitos exemplos de superfícies mínimas ou de curvatura média constante.

Neste espaço ambiente há uma geometria muito rica, profunda e interessante, ilustrada pelos numerosos exemplos de superfícies mínimas e de curvatura média constante.

Além disso, foram descobertas fascinantes caracterizações destas superfícies e foram estudadas outras propriedades que estão calcadas nos seguintes fenômenos geométricos (para citar apenas alguns):

Princípio do máximo (princípios do semi-espaço), simetria e unicidade oriundas do bordo e do bordo assimptótico, estrutura geométrica dos fins, estabilidade, curvatura total finita.

Finalmente, surgiram outras direções de pesquisa evolvidas da teoria das hipersuperfícies mínimas ou de curvatura média constante, que são focadas na teoria de hipersuperfícies com alguma função simétrica de curvatura constante, imersa em espaços produtos da forma Mⁿ × R, onde Mⁿ é uma variedade Riemanniana.