Em torno de superf�cies m�nimas e de curvatura m�dia constante

Ricardo S� Earp

Resumo do Projeto:� Descrevendo a linha sucintamente, visa-se estudar a teoria geom�trica das imers�es m�nimas ou de curvatura m�dia constante nos espa�os homog�neos tridimensionais simplesmente conexos. Tais espa�os aparecem dentro dos 8 modelos de geometrias de Thurston. H� v�rios problemas geom�tricos interessantes a serem

exploradas nestes espa�os homog�neos tridimensionais, alguns s�o extens�es �mudando o que tem que ser mudado- de seus correspondentes Euclideanos, e outros� s�o inteiramente surpreendentes. O projeto abrange quest�es da teoria das hipersuperf�cies m�nimas (ou com curvatura m�dia constante) em

Mⁿ�R^k, onde� Mⁿ� � uma variedade Riemanniana de dimens�o n e R^k� � um espa�o Euclideano de dimens�o k. Mais geralmente, envolve o estudo de� hipersuperf�cies m�nimas em� variedades Riemannianas. H� v�rios problemas em abertos, projetos ainda n�o desenvolvidos interessantes no tema e estudos j� estabelecidos no assunto, que poder�o servir de tema para futuros alunos de doutorado e de mestrado.� As hipersuperf�cies m�nimas ou de curvatura m�dia constante s�o pontos cr�ticos de um funcional volume. Em 1917 houve a publica��o do famoso teorema de Bernstein (1917) sobre gr�ficos m�nimos no R³. O estudo anal�tico-geom�trico das EDP el�pticas dadas pela equa��o da curvatura m�dia e seu liame com a Geometria Diferencial tem se desenvolvido desde ent�o. Disto surgem v�rias dire��es de pesquisa centradas na teoria das hipersuperf�cies m�nimas ou de curvatura m�dia constante. �H� um acirrado� estudo anal�tico-geom�trico sobre o assunto.

�Destacamos que a� linha de pesquisa da Geometria Diferencial em torno do projeto global de estudar a geometria das superf�cies m�nimas e de curvatura m�dia constante em variedades homog�neas tridimensionais � de candente atualidade. De fato, depois da pesquisa intensa nas �ltimas d�cadas sobre as superf�cies m�nimas ou de curvatura m�dia constante nos espa�os de curvatura constante (R³, S³, H³), agora a aten��o dos ge�metras da �rea est� voltada para os espa�os modelos da classifica��o de Thurston, entre eles H²� R, onde h� muitos exemplos de superf�cies m�nimas ou de curvatura m�dia constante.

Neste espa�o� ambiente h� uma geometria muito rica, profunda e interessante, ilustrada� pelos numerosos exemplos� de superf�cies m�nimas e de curvatura m�dia constante.�

�Al�m disso, foram descobertas fascinantes caracteriza��es destas superf�cies e� foram estudadas outras propriedades que est�o calcadas nos seguintes fen�menos geom�tricos (para citar apenas alguns):

Princ�pio do m�ximo (princ�pios do semi-espa�o), simetria e unicidade oriundas do bordo e do bordo assimpt�tico, estrutura� geom�trica� dos fins, estabilidade, curvatura total finita.

Finalmente, surgiram outras dire��es de pesquisa evolvidas da teoria das hipersuperf�cies m�nimas ou de curvatura m�dia constante, que s�o focadas na teoria de hipersuperf�cies com alguma fun��o sim�trica de curvatura constante, imersa em espa�os produtos da forma Mⁿ � R, onde Mⁿ � uma variedade Riemanniana.