INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES COM

CURVATURA MÉDIA 1 NO ESPAÇO HIPERBÓLICO -2001.1– Lista1

Professor: Ricardo Sá Earp

1) Considere a prima do catenóide, com eixo z de revolução . Sabe-se que a curva geratriz γ tem como eixo de simetria uma geodésica, digamos β, de IH^{2} que corta ortogonalmente o eixo z; além disso, o bordo assimptótico de γ é dado pela origem e pelo ∞. Assuma que γ = γ(r, z) é mergulhada (ou seja, gera uma prima mergulhada). É sabido também que no ∞, γ é um gráfico em relação ao eixo r e possui o seguinte comportamento assimptótico ≈ c r^{α}, 0 < α < 1 (veja refs. 12 e 16). Seja C_{n} o semi-círculo contido em IH^{2}, cujo centro é a origem e de raio r_{n}, com r_{n} → 0, quando n → ∞. Seja {p_{n}} a interseção de C_{n} com o horociclo único cujo bordo assimptótico é a origem, passando pela interseção do traço de β (eixo de simetria γ) com o eixo z. Seja {q_{n}} a interseção de C_{n} com o traço de γ. Mostre que dist(p_{n}, q_{n}) → ∞, quando n → ∞.

2) Sejam Π_{1} e Π_{2} dois planos totalmente geodésicos de IH^{3}. Calcule dist(Π_{1}, Π_{2}), analisando os vários casos.

3) Sejam H_{1} e H_{2} dois horociclos tangentes na origem. Mostre que a família de geodésicas γ que saem de 0 corta ortogonalmente H_{1} e H_{2}, respectivamente determinando uma distância constante. Generalize este resultado para horosferas de IH^{3}.

4) Mostre de duas maneiras distintas que IH^{3} é uma variedade Riemanniana completa de curvatura seccional −1.

5) Seja C uma curva propriamente mergulhada, tal que ∂_{∞}C = {p}. Mostre que se C é simétrica com respeito à família de geodésicas que saem de p, então C é um horociclo. Enuncie e demonstre um resultado análogo para superfícies propriamente mergulhadas em IH^{3} cujo bordo assimptótico consiste de um ponto.

6) Lembremos primeiramente da transformação de Koebe h. Seja f uma função holomorfa e univalente definida no disco unitário aberto D = {|z| < 1}. Seja z_{0} ∈ D, então h está definida por

h(z) := \frac{f (\frac{z + z_{0}}{1 + \overline{z_{0}}z} ) − f(z_{0})}{(1 − |z_{0}|^{2}) f′(z_{0})} = z + (\frac{1}{2} (1 − |z_{0}|^{2}) \frac{f′′(z_{0})}{f′(z_{0})} − \overline{z_{0}})z^{2} + ⋯

Note que f pertence a classe S (schlicht functions) consistindo das funções analíticas e univalentes em D da forma

f(z) = z + a_{2}z^{2} + a_{3}z^{3} + ⋯

Lembremos ainda a conjectura de Bieberbach demonstrada por de Branges em 1985 que diz o seguinte

(B)  |a_{n}| ⩽ n para f ∈ S, n = 1, 2, 3, …

Daí e da transformação de Koebe segue imediatamente que se f leva conformemente D em ℂ então

(∗)  |(1 − |z|^{2}) \frac{f′′(z)}{f′(z)} − 2\overline{z}| ⩽ 4,  para z ∈ D

A classe Σ consiste das funções g(z) definidas no disco perfurado D^{∗} satisfazendo

g(ζ) = ζ + b_{0} + b_{1}ζ^{−1} + ⋯ (|ζ| > 1)

a) Mostre que a igualdade em (B) vale para a função de Koebe f_{0}(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} . Estude a função de Koebe f_{0} mostrando que a imagem por f_{0} de D contém a bola aberta B de raio 1/4 centrada na origem. Esta é uma propriedade satisfeita por todas as funções schlicht. No caso da função de Koebe f_{0}(z) tal bola B é extremal ?

b) Mostre que se f ∈ S então g(ζ) := 1/f(ζ^{−1})satisfaz

g(ζ) = ζ − a_{2} + (a_{2}^{2} − a_{3})ζ^{−1} + ⋯ (|ζ| > 1)

concluindo que g pertence a Σ e que omite 0. Reciprocamente, mostre que se g ∈ Σ e g(ζ) ≠ 0 para ζ ∈ D^{∗}, então

f(z) = 1/g(z^{−1}) = z − b_{0}z^{2} + (b_{0}^{2} − b_{1}) z^{3} + ⋯ (|z| < 1)

pertence à S.

c) Mostre o teorema da área

area (ℂ \ g(D^{∗})) = π(1 − ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2}) para g ∈ Σ

inferindo

|b_{1}| ⩽ ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2} ⩽ 1 para g ∈ Σ

Nota : Segue do teorema da área o caso particular do teorema de de Branges |a_{2}| ⩽ 2.

d) Mostre que se f é uma função schlicht então |a_{2}^{2} − a_{3}| ⩽ 1. Deduza daí que se f leva conformemente D em ℂ, então a derivada Schwarziana S_{f} de f satisfaz

|S_{f}(z)| ⩽ 6 (1 − |z|^{2})^{−2}

onde S_{f}(z) := \frac{d}{dz} \frac{f′′(z)}{f′(z)} − \frac{1}{2}(\frac{f′′(z)}{f′(z)})^{2}

7) Considere o teorema de distorção de Koebe: Seja f : D → ℂ uma aplicação conforme que leva D no plano complexo ℂ. Para z ∈ D valem as seguinte desigualdades

(2)  |f′(0)|\frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ⩽ |f(z) − f(0)| ⩽ |f′(0)|\frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}}
(3)  |f′(0)|\frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ⩽ |f′(z)| ⩽ |f′(0)|\frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}}

que pode ser demonstrado integrando-se a equação (∗) duas vezes. Mostre isto !! Vamos definir agora d_{f}(z) = dist(f(z), ∂f(D)), (distância Euclideana de f(z)

ao bordo de f(D). Claro que d_{f}(z_{0}) = lim inf_{|ζ|→1} |f(ζ) − f(z_{0})|.

a) Seja novamente h a transformação de Koebe. Usando (2) e o princípio do mínimo mostre que

\frac{1}{4} ⩽ lim inf_{|z|→1} |\frac{h(z)}{z}| ⩽ |h′(0)| = 1

Conclua

b) Se f leva D conformente em ℂ então

\frac{1}{4} (1 − |z|^{2}) |f′(z)| ⩽ d_{f}(z) ⩽ (1 − |z|^{2})|f′(z)| para z ∈ D

Tire as seguintes consequências: Primeiramente, mostre que se f leva D conformemente sobre um domínio limitado, então (1 − |z|)|f′(z)| → 0 (quando |z| → 1). Segundo, mostre que se f leva conformemente D em ℂ \ {c}, com f satisfazendo f(0) = 0, então

|f(z)| ⩽ \frac{4|cz|}{(1 − |z|)^{2}} z ∈ D

c) Considere a métrica em f(D) dada por

ds = \frac{1}{d_{f}(z)}| dw|

onde w = f(z) ∈ f(D).

i) Mostre usando o item anterior que ds é completa, dando a relação entre ds e a métrica hiperbólica (completa) em f(D).

Vamos definir o conceito de família normal:

1) Uma família F de funções holomorfas de uma superfície de Riemann S para uma superfície de Riemann compacta T é chamada de normal, se F é compacta; ou seja, toda seqüência de funções {f_{n}} ∈ F, contém uma subseqüência que converge uniformemente em compactos a uma função g : S → T, holomorfa.

2) O caso não compacto é lidado da seguinte maneira: Dizemos que uma seqüência de pontos q_{n} numa superfície de Riemann não compacta T diverge a ∞ em T, se para cada compacto K ⊂ T, p_{n} ∉ K, para n suficientemente grande. Dizemos que uma seqüência de aplicações f_{n} : S → T diverge uniformemente em compactos ao ∞ em T, se para cada compacto K ⊂ S e K′ ⊂ T, temos que f_{n}(K) ∩ K′ = ∅, para n suficientemente grande. Uma família F de aplicações holomorfas é chamada de normal, se toda seqüência f_{n} : S → T em F , admite uma subseqüência que converge uniformemente em compactos de S, ou uma subseqüência que diverge uniformemente em compactos ao ∞.

8) Mostre que se S e T são duas superfícies de Riemann hiperbólicas (o recobrimento universal conforme é D), então cada família F de funções holomorfas de S em T é normal.

9) Usando o item anterior, ou algum argumento direto que faça uso da geometria hiperbólica, mostre que se S é uma superfície de Riemann hiperbólica e F uma família de funções holomorfas de S em ℂ∪{∞} que omite três valores distintos fixados, então F é normal.

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