GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista7

Professor: Ricardo Sá Earp

1) Seja IH^{3} := {(x, y, z); z > 0}. Considere a semi-esfera S = S_{r}(a) := {p = (x, y, z) ∈ IR^{3}; |p − a|_{IR}^{3} = r, z > 0}, onde a ∈ {(x, y, z); z = 0} e r > 0. Considere a reflexão, ou simetria ou inversão com respeito à S definida por

I(p) = a + \frac{r^{2}}{|p − a|_{IR^{3}}^{2}} · (p − a)

a) Mostre que I é um difeomorfismo anti-conforme preservando IH^{3}, levando ∂_{∞}IH^{3} em si mesmo, deixando fixos todos os pontos de S e satisfazendo I ∘ I(p) = p, para todos os pontos p ∈ IH^{3}. Mostre que I provém de uma única inversão em um círculo em ∂_{∞}IH^{3} ≡ ℂ ∩ {∞}.

b) Mostre que I leva as calotas esféricas, , semi-planos verticais, semi-planos inclinados, planos horizontais, esferas em IH^{3} em calotas esféricas, ou semi-planos verticais, ou semi-planos inclinados, ou planos horizontais ou esferas em IH^{3}. Deduza que I leva círculos ou retas em círculos ou retas. Faça um exame minucioso e discuta cada caso separadamente examinando todas as possibilidades como você fez, anteriormente, com as inversões em círculos.

c) Mostre que se p.q ∈ IH^{3}, então

|I(p) − I(q)|_{IR}^{3} = \frac{r^{2}|p − q|_{IR}^{3}}{|p − a|_{IR}^{3}|q − a|_{IR}^{3}}

Considere IH^{3} o espaço hiperbólico munido da métrica hiperbólica

ds^{2} = \frac{1}{z^{2}} · (dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}) .

2) Mostre com todos os detalhes que a inversão I do item 1) é uma isometria negativa de IH^{3}. Lembremos que as geodésicas de IH^{3} são as semi-retas verticais contidas em

IH^{3} partindo do bordo assimptótico (∂_{∞}IH^{3}) e os semi-círculos em IH^{3} ortogonais à ∂_{∞}IH^{3}.

3) Mostre que de fato as curvas descritas logo acima são todas as geodésicas de IH^{3}. Mostre que dada duas geodésicas γ_{1} e γ_{2} existe uma isometria positiva de IH^{3} levando γ_{1} em γ_{2}.

4) Mostre que a rotação em torno de uma geodésica γ, também chamada de rotação hiperbólica, é uma isometria positiva de IH^{3}. Descreva-a com detalhes geometricamente. Mostre que a rotação hiperbólica leva pedaços de planos ou esferas em IH^{3} em pedaços de planos ou esferas em IH^{3}.

5) Mostre que a translação ao longo de uma geodésica γ, ou simplesmente translação hiperbólica, ou mais simplesmente ainda translação , é uma isometria positiva de IH^{3}. Mostre que a translação hiperbólica leva pedaços de planos ou esferas em IH^{3} em pedaços de planos ou esferas em IH^{3}. Descreva-a com detalhes geometricamente.

Considere B^{3} := {p = (x, y, z) ∈ IR^{3}; x^{2} + y^{2} + z^{2} < 1} o modelo da bola do espaço hiperbólico munido da métrica ds^{2} = \frac{4}{(1 − (x^{2} + y^{2} + z^{2}))^{2}} ·(dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}) .

6) Mostre que F : B^{3} → IH^{3} definida por F (x, y, z) = \frac{2(x, y, z + 1)}{x^{2} + y^{2} + (z + 1)^{2}} − (0, 0, 1)

produz uma isometria global de B^{3} em IH^{3} que inverte orientações . Descreva geometricamente F e dê sua inversa. Além disso modifique ligeiramente F e obtenha uma isometria positiva. Descreva as geodésicas no modelo da bola.

Dizemos que uma superfície M é totalmente geodésica, se dado um ponto p de M tem-se que toda geodésica γ de M partindo de p é geodésica de IH^{3}. Dizemos que uma superfície M é uma superfície equidistante se M é o lugar geométrico dos pontos em IH^{3} que possuem mesma distância fixada ρ de uma superfície totalmente geodésica. Dizemos que M é uma esfera geodésica se M é o lugar geométrico dos pontos em IH^{3} que possuem mesma distância fixada ρ de um ponto fixado p. Dizemos que M é uma horosfera se existe p ∈ M tal que M é o limite em IH^{3} de esferas de raios variados ρ que passam por p fazendo ρ → ∞.

7) Neste item vamos estudar as superfícies geométricas acima e mostrar que são totalmente umbílicas, i. e possuem curvaturas principais iguais (tal como foram definidas em sala de aula) em todos os pontos.

a) Mostre que os semi-planos verticais em IH^{3}, e as semi-esferas em IH^{3} ortogonais ao bordo assimptótico são planos totalmente geodésicos. Mostre que são totalmente umbílicos com curvatura média zero em todos os pontos. Mostre que os planos totalmente geodésicos são “cópias ” de IH^{2} com curvatura de Gauss identicamente igual a −1.

b) Mostre que as calotas esféricas em IH^{3} que fazem ângulo 0 < θ < π/2 com o bordo assimptótico, e os semi-plano inclinados em IH^{3} que fazem ângulo 0 < θ < π/2 com o bordo assimptótico são superfícies equidistantes fazendo ângulo α (constante) com um plano totalmente geodésico. Mostre que são totalmente umbílicos, com curvatura média H, satisfazendo H^{2} < 1. Calcule a curvatura média explicitamente em termos de α.

c) Mostre que as esferas menos um ponto em IH^{3} tangentes à ∂_{∞}IH^{3} e os planos Euclideanos horiontais são horosferas. Mostre que são totalmente umbílicos com curvatura média H satisfazendo H^{2} = 1.

d) Mostre que as esferas inteiramente contidas em IH^{3} são esferas geodésicas. Mostre que são totalmente umbílicas. com curvatura média H satisfazendo H^{2} > 1. Calcule a curvatura média explicitamente.

e) Em todos os casos anteriores faça um desenho colocando o vetor curvatura média apontando para o sentido correto.

f) Descreva os planos totalmente geodésicos, as superfícies equidistantes, as horosferas e as esfeas geodésicas no modelo da bola.

8) Os cilindros hiperbólicos C ou simplesmente cilindros são definidos como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma determinada geodésica γ de IH^{3}. Mostre que quando γ é uma semi-reta Euclideana vertical, C é um cone Euclideano com vértice no bordo assimptótico de IH^{3}. Estude geometricamnte o caso em que γ é um semi-círculo ortogonal à ∂_{∞}IH^{3}. Mostre que os cilindros são isoparamétricos, i. e de curvaturas principais constante. Calcule as curvaturas principais em função da distância à γ.

9) (Classificação das isometrias positivas de IH^{3}) Mostre com todos os detalhes que toda isometria positiva de IH^{3} é a composta de no máximo de uma translação Euclideana horizontal, de uma homotetia e de rotação hiperbólica.

10) Mostre que toda transformação de Möbius de ∂_{∞}IH^{3} se estende a uma única isometria positiva de IH^{3}. Reciprocamente, mostre que toda isometria positiva de IH^{3} induz em ∂_{∞}IH^{3} uma transformação de Möbius.

11) Sejam dados dois planos totalmente geodésicos π_{1}, π_{2}, e pontos p ∈ π_{1}, q ∈ π_{2}. Sejam dadas duas bases ortornormais positivas de IR^{3}, {v_{1}, w_{1}, N_{1}} e {v_{2}, w_{2}, N_{2}} tal que {v_{1}, w_{1}} é uma base de T_{p}π_{1} e {v_{2}, w_{2}} é uma base de T_{q}π_{2}. Mostre que existe uma isometria positiva levando π_{1} em π_{2}, levando p em q e levando a base {v_{1}, w_{1}} de T_{p}π_{1} na base {v_{2}, w_{2}} de T_{q}π_{2}.

12) Dados p, q ∈ IH^{3}, dados {v_{1}, w_{1}, N_{1}}, e {v_{2}, w_{2}, N_{2}} bases de T_{p}IH^{3} e T_{q}IH^{3}, respectivamente, dê condições necessárias e suficientes para que exista uma isometria I de IH^{3}, com I(p) = q, dI(p)v_{1} = v_{2}, e dI(p)w_{1} = w_{2} ?

13) Quais são todas as isometrias de IH^{3} que deixam uma determinada geodésica γ invariante ? Quais as positivas ?

14) O que você pode dizer de uma isometria de IH^{3} que deixa todos os pontos de um determinado plano totalmente geodésico π fixados ? E se colocarmos a condição da isometria ser positiva ? O quê você pode dizer de uma isometria de IH^{3} que deixa todos os pontos de um determinado plano totalmente geodésico π fixados e que fixa um ponto p ∉ π ?

15) Exiba condições “ minimais” que implicam que uma determinada isometria de IH^{3} é a identidade.

16) Como decompor uma translação hiperbólica como a composta de no máximo de uma translação Euclideana horizontal, de uma homotetia e de rotação hiperbólica ? Idem para uma rotação hiperbólica. Idem para a composta de uma inversão (em esferas) e de uma reflexão (em planos) que deixam IH^{3} invariante.

17) Mostre que toda isometria positiva de IH^{3} é a composta de um número par de inversões e reflexões como acima.

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Professor Ricardo Sa Earp 5

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