GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista5

Professor: Ricardo Sá Earp

1) Lembremos primeiramente da transformação de Koebe h. Seja f uma função holomorfa e univalente definida no disco unitário aberto D = {|z| < 1}. Seja z_{0} ∈ D, então h está definida por

h(z) := \frac{f (\frac{z + z_{0}}{1 + \overline{z_{0}}z} ) − f(z_{0})}{(1 − |z_{0}|^{2}) f′(z_{0})} = z + (\frac{1}{2} (1 − |z_{0}|^{2}) \frac{f′′(z_{0})}{f′(z_{0})} − \overline{z_{0}})z^{2} + ⋯

Note que f pertence a classe S (schlicht functions) consistindo das funções analíticas e univalentes em D da forma

f(z) = z + a_{2}z^{2} + a_{3}z^{3} + ⋯

Lembremos ainda a conjectura de Bieberbach demonstrada por de Branges em 1985 que diz o seguinte

(B)  |a_{n}| ⩽ n para f ∈ S, n = 1, 2, 3, …

Daí e da transformação de Koebe segue imediatamente que se f leva conformemente D em ℂ então

(∗)  |(1 − |z|^{2}) \frac{f′′(z)}{f′(z)} − 2\overline{z}| ⩽ 4,  para z ∈ D

A classe Σ consiste das funções g(z) definidas no disco perfurado D^{∗} satisfazendo

g(ζ) = ζ + b_{0} + b_{1}ζ^{−1} + ⋯ (|ζ| > 1)

a) Mostre que a igualdade em (B) vale para a função de Koebe f_{0}(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} . Estude a função de Koebe f_{0} mostrando que a imagem por f_{0} de D contém a bola aberta B de raio 1/4 centrada na origem. Esta é uma propriedade satisfeita por todas as funções schlicht. No caso da função de Koebe f_{0}(z) tal bola B é extremal ?

b) Mostre que se f ∈ S então g(ζ) := 1/f(ζ^{−1})satisfaz

g(ζ) = ζ − a_{2} + (a_{2}^{2} − a_{3})ζ^{−1} + ⋯ (|ζ| > 1)

concluindo que g pertence a Σ e que omite 0. Reciprocamente, mostre que se g ∈ Σ e g(ζ) ≠ 0 para ζ ∈ D^{∗}, então

f(z) = 1/g(z^{−1}) = z − b_{0}z^{2} + (b_{0}^{2} − b_{1}) z^{3} + ⋯ (|z| < 1)

pertence à S.

c) Mostre o teorema da área

area (ℂ \ g(D^{∗})) = π(1 − ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2}) para g ∈ Σ

inferindo

|b_{1}| ⩽ ∑_{n=1}^{∞} n|b_{n}|^{2} ⩽ 1 para g ∈ Σ

Nota : Segue do teorema da área o caso particular do teorema de de Branges |a_{2}| ⩽ 2.

d) Mostre que se f é uma função schlicht então |a_{2}^{2} − a_{3}| ⩽ 1. Deduza daí que se f leva conformemente D em ℂ, então a derivada Schwarziana S_{f} de f satisfaz

|S_{f}(z)| ⩽ 6 (1 − |z|^{2})^{−2}

onde S_{f}(z) := \frac{d}{dz} \frac{f′′(z)}{f′(z)} − \frac{1}{2}(\frac{f′′(z)}{f′(z)})^{2}

2) Considere o teorema de distorção de Koebe: Seja f : D → ℂ uma aplicação conforme que leva D no plano complexo ℂ. Para z ∈ D valem as seguinte desigualdades

(2)  |f′(0)|\frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ⩽ |f(z) − f(0)| ⩽ |f′(0)|\frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}}
(3)  |f′(0)|\frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ⩽ |f′(z)| ⩽ |f′(0)|\frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}}

que pode ser demonstrado integrando-se a equação (∗) duas vezes. Vamos definir agora d_{f}(z) = dist(f(z), ∂f(D), (distância Euclideana de f(z) ao bordo de f(D). Claro que d_{f}(z_{0}) = lim inf_{|ζ|→1} |f(ζ) − f(z_{0})|.

a) Seja novamente h a transformação de Koebe. Usando (2) e o princípio do mínimo mostre que

\frac{1}{4} ⩽ lim inf_{|z|→1} |\frac{h(z)}{z}| ⩽ |h′(0)| = 1

Conclua

b) Se f leva D conformente em ℂ então

\frac{1}{4} (1 − |z|^{2}) |f′(z)| ⩽ d_{f}(z) ⩽ (1 − |z|^{2})|f′(z)| para z ∈ D

Tire as seguintes consequências: Primeiramente, mostre que se f leva D conformemente sobre um domínio limitado, então (1 − |z|)|f′(z)| → 0 (quando |z| → 1). Segundo, mostre que se f leva conformemente D em ℂ \ {c}, com f satisfazendo f(0) = 0, então

|f(z)| ⩽ \frac{4|cz|}{(1 − |z|)^{2}} z ∈ D

Em seguida, vamos ver uma formulação invariante que segue do teorema de distorção de Koebe em termos da distância hiperbólica ρ, munindo D da métrica

hiperbólica ds = \frac{2}{(1 − |z|^{2})}| dz|.

3) Mostre que se f é uma aplicação conforme que leva D em ℂ, e se z_{0}, z_{1} ∈ D, então

(4)  \frac{tanh \frac{1}{2}ρ(z_{0}, z_{1})}{4} ⩽ \frac{|f(z_{1}) − f(z_{0})|}{(1 − |z_{0}|^{2}) |f′(z_{0})|} ⩽ exp (2ρ(z_{0}, z_{1}))
(5) |f′(z_{0})| exp (−3ρ(z_{0}, z_{1})) ⩽ |f′(z_{1})| ⩽ |f′(z_{0})| exp (3ρ(z_{0}, z_{1}))

Sugestão : Pra obter (5), use a transformação de Koebe com z = (z_{1}−z_{0})/(1− \overline{z_{0}}z_{1}), use a equação (2), e a fórmula da distância hiperbólica. Para obter a outra desigualdade use (3) e um argumento por simetria. Este resultado tem uma forma geométrica útil nas aplicações 4) Sejam a, b, c contantes positivas e seja 0 < |z_{0}| = 1 − δ < 1. Se

0 ⩽ 1 − bδ ⩽ |z| ⩽ 1 − aδ, | arg z − arg z_{0}| ⩽ cδ

e se f leva D conformemente em ℂ, então existem constantes M_{1} e M_{2} dependendo apenas de a, b, c tal que

|f(z) − f(z_{0})| ⩽ M_{1}δ|f′(z_{0})|
M_{2}^{−1}|f′(z_{0})| ⩽ |f′(z)| ⩽ M_{2}|f′(z_{0})|

Sugestão : A demonstração destas estimativas usa geometria (trigonometria) hiperbólica básica para estimar ρ(z, z_{0}) em termos das constantes a, b, c (faz-se necessário desenho !!) combinada com os resultados obtidos no item anterior.

5) (Woff’s lemma) Seja h uma aplicação que envia o aberto H ⊂ ℂ conformemente dentro de D_{R} := {|z| < R}. Seja C(r) := H ∩ {|z − c| = r} para c ∈ ℂ. Mostre que

inf_{λ<r<\sqrt{λ}} compr(h(C(r)) ⩽ \frac{2πR}{\sqrt{log 1/λ}}, para 0 < λ < 1

Consequentemente, mostre que existe uma seqüência decrescente {r_{n}}, r_{n} → 0 (quando) n → ∞) satisfazendo

compr(h(C(r_{n}))) → 0 quando n → ∞

Sugestão : Denote l(r) := compr(h(C(r_{n}))). Use a desigualdade de Schwarz para obter

l(r)^{2} ⩽ 2πr ∫_{c+r e^{it}∈H} |h′(c + r e^{it})|^{2}r dt

Em seguida, divida ambos os lados por r e integre em r, com r variando de 0 à ∞, concluindo

∫_{0}^{∞}l(r)^{2} \frac{dr}{r} ⩽ 2π area h(H)

Mostre usando o mesmo método que se f envia conformemente D sobre um conjunto limitado, então quase todo raio [0, ζ), ζ ∈ ∂D, é enviado sobre curvas de comprimento limitado.

6^{∗}) (desigualdade isoperimétrica) Seja Ω ⊂ IH^{2} um domínio simplesmente conexo de área A, cujo bordo é uma curva simples fechada em IH^{2} de comprimento L. Mostre que

L^{2} ⩾ 4πA + A^{2}

sendo que a igualdade é válida se, e somente se Ω é um disco geodésico, e assim, seu bordo é um círculo contido em IH^{2} (verifique primeiramente isto !!). Como referência, veja o artigo de Osserman The isoperimetric inequality, publicado no Bull. AMS , vol. 84(6), 1978.

7) Neste exercício você precisa ter o conhecimento básico de espaços de recobrimento e de superfícies de Riemann.

a) Mostre o seguinte: Seja M uma superfície de Riemann conexa e seja Π : M̃ → M um recobrimento simplesmente conexo de M. Nestas condições existe uma única estrutura conforme sobre M̃ de maneira que a projeção Π seja uma aplicação conforme de M̃ sobre M. Além disto, se Π_{1} : M̃_{1} → M e Π_{2} : M̃_{2} → M são dois recobrimentos conformes e simplesmente conexos de M, as superfícies de Riemann simplesmente conexas M̃_{1} e M̃_{2} são conformementes equivalentes.

Nota: O teorema de uniformização de Riemann diz que toda superfície de Riemann simplesmente conexa é conformemente equivalente ou bem à 𝕊^{2}, ou bem à ℂ, ou bem à D.

Antes do próximo exercício precisamos lembrar a definição da noção de um grupo agir própria e descontinuamente. Seja X um espaço topológico e Λ um grupo de homeomorfismo de X. Seja p ∈ X. A órbita de p, denotada Λ_{p}, é o conjunto das imagens de p pelos elementos de Λ, i. e Λ_{p} := {f(p); f ∈ Λ}. Dizemos que Λ age própria e descontinuamante se as duas condições seguintes são satisfeitas:

(1) Para todo x, y ∈ X, com y ∉ Λ_{x}, existe um aberto U de X contendo x e um aberto V de X contendo y disjunto de U tal que f(U) ∩ V = ∅, para todo f ∈ Λ. (o quê significa esta condição ?).

(2) Para todo x ∈ X existe um aberto U de X contendo x tal que f(U)∩U = ∅, para todo f ∈ Λ, f diferente da identidade.

b) Seja Π : M̃ → M um recobrimento conforme e simplesmente conexo. Mostre que nestas condições o grupo de recobrimento Λ é um subgrupo do grupo de transformações de Möbius de M̃ que age própria e descon-

tinuamente sobre M̃.

c) Seja Π : M̃ → M um recobrimento conforme e simplesmente conexo. Seja Λ o grupo de recobrimento e considere o quociente M̃/Λ munido da única estrutura conforme que faz a profeção canônica P : M̃ → M conforme. Mostre que nestas condições as superfícies de Riemann M e M̃/Λ são conformemente equivalentes. Conclua do que você estudou neste item que toda superfície de Riemann M, diferente da esfera, do plano complexo, do plano complexo perfurado e dos toros, admite uma única métrica (hiperbólica) completa de curvatura de Gauss identicamente igual a −1.

d) Sejam M e N duas superfícies de Riemann munidas da métrica hiperbólica obtida no item anterior (ou seja, o recobrimento conforme de ambas superfícies é o disco D). Assuma primeiro que ambas M e N sejam simplesmente conexas. Mostre que se f : M → N é uma aplicação holomorfa da superfície de Riemann M na superfície de Riemann N que não é uma equivalência conforme então f encolhe estritamente o comprimento das curvas. No caso geral demonstre o seguinte: Ou bem, f : M → N é uma isometria local na métrica hiperbólica e uma aplicação de recobrimento, ou bem f : M → N encolhe estritamente o comprimento das curvas.

e^{∗}) Estude a noção de grupo modular, função modular, domínio fundamental e exiba um exemplo não trivial destas noções estudando os detalhes. Confira no livro de Rudin Real and Complex Analysis e veja também as refs 7 e 12.

8) Reproduza com todos os detalhes a classificação das curvas com curvatura constante no plano hiperbólico.

9) Reproduza com todos os detalhes, apresentando aplicações, o princípio do máximo para curvas em IH^{2}.

10) Considere a curva γ(y) = (u(y), y), onde u é uma função de classe C^{2} definida no intervalo [a, b], 0 < a ⩽ y ⩽ b, satisfazendo u(a) = u(b) = 0. Suponha que a curvatura geométrica de γ seja menor ou igual a 1. Mostre que existem constantes c_{1}, c_{2}, c_{3} não dependendo de γ tal que

|u(t)| ⩽ c_{1}  ∀t ∈ [a, b]
|u′(a)| ⩽ c_{2}  |u′(b)| ⩽ c_{3}

11) Considere γ = (x, y) : [0, 1] → IH^{2}, uma curva compacta de classe C^{2} até o bordo, com y(0) = y(1) = 1, x(0) ≠ x(1). Suponha que a curvatura geométrica k de γ satisfaz k ⩽ a < 1. Suponha que o vetor curvatura \overrightarrow{k} satisfaz \overrightarrow{k} · \overrightarrow{j} > 0, onde \overrightarrow{j} = (0, 1). Mostre que existem duas curvas C_{1} e C_{2} de curvaturas geometricas a e 1, respectivamente, ambas passando por γ(0) e γ(1), tal que γ fica situada na região limitada de IH^{2} delimitada por C_{1} e C_{2}.

12) Fazer os seguintes exercícios da §6 da ref. 12 : Exercs (6), (7), (8), (9), (11).

BIBLIOGRAFIA

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