GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista4

Professor: Ricardo Sá Earp

1) Considere D o disco de Poincaré. Mostre que a quantidade

\frac{(1 − |z_{1}|^{2})(1 − |z_{2}|^{2})}{|1 − \overline{z_{1}}z_{2}|^{2}}

é um invariante conforme de D ( z_{1}, z_{2} ∈ D).

2) Mostre que toda aplicação de Möbius f agindo na esfera de Riemann ℂ∪{∞} tem uma das seguintes formas

f(z) = λ e^{iθ} ·z + β  ou  f(z) = α + \frac{λ e^{iθ}}{z + β}

onde α, β ∈ ℂ e λ, θ ∈ IR, λ > 0. 3^{∗}) (A ultramétrica de Ahlfors) Geralmente uma métrica Riemanniana é dada em

“coordenadas isotérmicas z = x + iy”(ou conforme) na seguinte forma

ds^{2} = ρ^{2}(dx^{2} + dy^{2})

onde ρ > 0 e ds é conforme à métrica Euclideana. A quantidade

K(ρ) := −\frac{△ log ρ}{ρ^{2}}, ρ ∈ C^{2}

é a bem conhecida curvatura de Gauss da métrica. Já vimos que a curvatura de Gauss da métrica hiperbólica é −1, e que K ≡ 1 para a esfera unitária em IR^{3}.

a) Mostre que K(ρ) é um invariante conforme. Mais precisamente, dada uma aplicação conforme w = f(z), define-se ρ̃(w) obrigando que ρ| dz| = ρ̃| dw|, ou mais explicitamente, ρ(z) = ρ̃(f(z))|f′(z)|.

Doravante condideraremos a métrica hiperbólica em D denotada por λ(z)| dz|, isto é λ(z) = 2/(1 − |z|^{2}). b) Mostre que se ρ satisfaz K(ρ) ⩽ −1 em D, então λ(z) ⩾ ρ(z) para todo

z ∈ D. Sugestão : Assuma primeiramente que ρ tem extensão contínua e estritamente positiva ao disco fechado, e em seguida reduza a situação geral a este caso.

c) Uma métrica ρ| dz|, ρ ⩾ 0 é chamada de ultramétrica num domínio Ω se

tem as seguintes propriedades:

i) ρ é semi-contínua superiormente. ii) Para cada z_{0} ∈ Ω com ρ(z_{0}) > 0 existe uma “métrica suporte” ρ_{0} de

classe C^{2} numa vizinhança V de z_{0}, tal que △ log ρ_{0} ⩾ ρ_{0}^{2} e ρ ⩾ ρ_{0} em V, com ρ(z_{0}) = ρ_{0}(z_{0}). Note que log λ − log ρ é semi-contínua inferiormente, a existência de um mínimo no raciocínio acima está assegurada. Tal mínimo será também um mínimo local de log λ − log ρ_{0}, e o resto do raciocínio se aplica como antes. A desigualdade λ(z) ⩾ ρ(z) pode ser verificada sempre que ρ é ultramétrica. Mostre a seguinte versão forte do lema de Schwarz:

iii) Seja f uma função analítica de D em uma região Ω na qual está dada uma métrica ultrahiperbólica ρ. Mostre que

ρ(f(z))|f′(z)| ⩽ \frac{2}{(1 − |z|^{2})}

Observe que a quantidade da esquerda é uma métrica ultrahiperbólica em D, os zeros de f′(z) são as singularidades desta métrica. Você saberia dar exemplos de métricas ultrahiperbólicas em D ?

BIBLIOGRAFIA

1. Lars Ahlfors. Conformal invariants: topics in geometric function theory. McGraw-Hill, 1973.

2. João L. Barbosa, Ricardo Sá Earp. Geometric methods and nonlinear analysis. X Escola de Geometria Diferencial, UFMG, 20 à 24 de julho de 1998.

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