GEOMETRIA HIPERBÓLICA -2000.2–Lista3

Professor: Ricardo Sá Earp

1) Considere a esfera unitária 𝕊^{2} = {ξ^{2} + η^{2} + ζ^{2} = 1} em IR^{3}.

a) Mostre que a projeção estereográfica usual do pólo norte é dada por

Π_{N}(ξ, η, ζ) = \frac{ξ + iη}{1 − ζ} := E

b) Mostre que a inversa é dada por

z ⟼ (\frac{2Re E}{E\overline{E} + 1}, \frac{2 Im E}{E\overline{E} + 1}, \frac{E\overline{E} − 1}{E\overline{E} + 1})

c) Mostre que a métrica Euclideana ds^{2} = dξ^{2} + dη^{2} + dζ^{2} em IR^{3} induzida em 𝕊^{2}, induz em ℂ ∪ {∞} a seguinte métrica

ds^{2} = \frac{4}{(1 + E\overline{E})^{2}} (d(Re E)^{2} + d(Im E)^{2})·

d) Mostre que a curvatura de Gauss da referida métrica é K ≡ +1.

e) Mostre que uma isometria positiva da referida métrica é o conjunto das transformações de Möbius da forma

T (z) = \frac{az − \overline{c}}{cz + \overline{a}}

satisfazendo |a|^{2} + |c|^{2} = 1, a, c ∈ ℂ.

f) Mostre que para cada tal isometria positiva T correspondem z e \frac{−1}{\overline{z}} fixados por T. Note que T é “elíptica”, você sabe justificar esta terminologia ?

g) A aplicação z ↦ 1/z é uma isometria positiva ? Descreva-a geometrica-

mente.

2) Mostre que podemos obter uma pavimentação do Disco de Poincaré (“tiling”) por octógonos regulares (hiperbólicos) idênticos, cada qual com ângulo interno π/4, e cada qual podendo ser levado em outro por uma isometria positiva. Obtenha assim uma superfície de Riemann de gênero g que admite uma métrica hiperbólica de curvatura −1. Isto pode ser feito para g > 2 ? E para g = 1 ?

3) Seja R(z) uma fração racional, isto é um quociente de polinômios (função meromorfa na esfera de Riemann). Diz-se que ponto ξ é um ponto fixo de R(z), se R(ξ) = ξ. Dizemos que um ponto fixo ξ ∈ ℂ é um atrator, se |R′(ξ)| < 1, é um repulsor se |R′(ξ)| > 1, é indiferente se |R′(ξ)| = 1. Considere z_{0}, z_{1} = R(z_{0}), z_{2} = R(z_{1}), … z_{n+1} = R(z_{n}).

a) Mostre que se a seqüência {z_{n}} converge à ζ, i. e z_{n} → ζ (n → ∞), então ζ é um ponto fixo de R(z).

b) Mostre que os pontos fixos de R(z) = z^{2} − 4z + 6 são 2, 3 e ∞. Encontre os pontos z_{0} tais que z_{n} → 2.

c) Mostre que se z_{0} está suficientemente próximo de um ponto fixo atrator ξ, então z_{n} → ξ (n → ∞).

d) Discuta o ponto fixo de uma transformação parabólica do plano hiperbólico. É atrator ?

e) Discuta o caso de uma transformação hiperbólica. Existe sempre um ponto fixo atrator ?

f) Considere a aplicação T (z) = \frac{2z}{z + 1}. Mostre que 0 e 1 são os pontos fixos de T (z). Calcule T′(0) e T′(1). Mostre que para todo n

T^{n}(z) = \frac{2^{n}z}{(2^{n} − 1)z + 1}

Calcule ainda lim_{n→∞} T^{n}(z), para cada z, incluindo 0, 1, ∞. Além disso, calcule lim_{n→∞}(T^{−1})^{n}(z).

4^{∗}) Pesquise sobre conjuntos de Julia, de Fatou e de Mandelbrot, exibindo exem-

plos.

5) Considere os subconjuntos do plano hiperbólico C_{1} := {z = x + iy, y > 0; x^{2} + y^{2} = 1}, e C_{2} := {z = x + iy, y > 0; x^{2} + y^{2} = 4}. Calcule a distância hiperbólica entre C_{1} e C_{2}.

6) Dados dois pontos (distintos) p e q de IH^{2} quantos horociclos passam por p e q ? E quantas curvas equidistantes à distância ρ da geodésica única que passa por p e q ?

7) Demonstre com todos os detalhes o teorema de Schwarz-Pick.

8) Demonstre a lei dos senos ( relativa a um triângulo geodésico de lados com comprimentos hiperbólicos a, b e c, e ângulos opostos α, β e γ, respectivamente)

\frac{sinh a}{sin α} = \frac{sinh b}{sin β} = \frac{sinh c}{sin γ}

9) Idem para a lei do cosseno I

cosh c = cosh a · cosh b − sinh a · sinh b · cos γ

10) Idem para a lei do cosseno II

cosh c = \frac{cos α · cos β + cos γ}{sin α · sin β}

11) Descreva geometricamente de maneira a mais simples possível uma dada isometria positiva geral do plano hiperbólico.

12) Fazer os seguintes exercícios da §5 da ref. 9 : Exercs (1), (2), (3), (4), (5), (6) e (7).

BIBLIOGRAFIA

1. João L. Barbosa, Ricardo Sá Earp. Geometric methods and nonlinear analysis. X Escola de Geometria Diferencial, UFMG, 20 à 24 de julho de 1998.

2. Alan F. Beardon. Iteration of rational functions. Springer, 1999.

3. Lennart Carleson and Theodore W. Gamelin. Complex dynamics. Springer, 1993.

4. Manfredo P. do Carmo. Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 1998.

5. Hershel M. Farkas and Irwin Kra. Riemann Surfaces . Springer, 1980.

6. Noel J. Hicks. Notes on differential geometry . Van Nostrand, 1965.

7. Heinz Hopf. Differential geometry in the large. Lecture Notes in Mathematics, 1000. Springer, 1989.

8. John G. Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds. Springer, 1994.

9. Ricardo Sá Earp et Eric Toubiana. Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann. Diderot multimedia, 1997.

10. Michael Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry , second edition. Publish or Perish, 1979.

11. William P. Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Edited by Silvio Levy, Princeton University Press, 1997.