Departamento de Matemática PUC-Rio

Iniciação científica 2006/2007

GEOMETRIA DIFERENCIAL DAS CURVAS E SUPERFÍCIES

FAZENDO USO DO MAPLE

Professor responsável: Ricardo Sá Earp

Alunos: Paula Galvão Caldas e Eric Cordona Ramoni (2006)

Arthur Freitas e Gustavo Schinazi (2006/2007)

INTRODUÇÃO/JUSTIFICATIVA:

Aprender os conceitos fundamentais da Geometria Diferencial das Curvas e Superfícies no Espaço Euclideano que são ferramentas fundamentais da Mecânica, Física e outras partes das Engenharias, aliado com o traçado, cálculos e análise geométrica fazendo uso do programa MAPLE. Neste projeto há um forte enfoque inédito sob o ponto de vista da Geometria Diferencial. De fato, será explorado vários tópicos que nào são normalmente dados num curso de graduação, aprofundando outros que são apenas levemente abordados numa disciplina típica de Geometria nos cursos usuais de matemática.

OBJETIVOS:

Uma verdadeira iniciação à pesquisa com base no estudo de parte da Geometria Diferencial envolvendo várias noções geométricas importantes como curvaturas, torção dentre outras. Será desenvolvido familiaridade com o raciocínio matemático, habilidade matemática, desenvolvimento e escrita matemática nos trabalhos semanais. Será usado o programa MAPLE como ferramenta para uma mais apurada compreensão analítica e geométrica dos vários tópicos selecionados da teoria das curvas e superfícies do espaço Euclideano. Também visaremos um refinado desenvolvimento da capacidade matemática de resolver e modelar problemas fazendo o uso do MAPLE.

METODOLOGIA:

Trabalhos e encontros semanais bem apresentados e redigidos, fazendo uso do MAPLE, com acribia, rigor científico e desenvoltura geométrica dos tópicos semanais relacionados

PROGRAMA:

• Traçado e compreensão das curvas planas e no espaço clássicas, usando o MAPLE:
• Estrofóide, cissóide de Diocles, ciclóide, hipociclóides, astróide. "Courbe des forçats".
• Reparametrizações, comprimento de arco.
• Aplicações no problema da braquistótona, aplicações harmônicas e Superfícies em H³.
• Curvatura e ângulo de giro de uma curva plana: Lemniscata de Bernoulli, cardióide, cissóide,tratriz, cúbica serpentina, folium, limaçon, lissajous, espirais.
• Curvas planas definidas implicitamente: ovais de Cassini.
• Curvas obtidas a partir de outras .Evolutas: astróide, catenária (evoluta iterada)
• Involuta. Retas normais e tangentes a curvas planas. Círculos osculadores.
• Curvas paralelas(elipse). Curvas podais.
• Determinação de uma curva pela curvatura: teorema fundamental das curvas planas: clotóide, função Gamma, função de Airy, onda quadrada.
• Curvatura e torção de curvas no espaço: hélices, cúbica retorcida,

curva helicoidal, curva de Viviani.

• Teorema fundamental das curvas no espaço: astróide tridimensional,cilindro dupla, tubos nós toroidais,espiral esférica.
• Cálculo no espaço Euclideano.
• Traçado e compreensão das superfícies no espaço clássicas, usando o MAPLE:
• Superfícies parametrizadas em R^3. Exemplos: Gráficos, parabolóide hiperbólico, sela de macaco, elipsóide estereográfico, toros, caracóis marinhos, superfícies parametrizadas com singularidades: a superfície oito, guarda chuva de Whitney.
• Superfícies dada implicitamente. Métricas sobre superfícies: Isometrias.
• A aplicação normal de Gauss. Curvaturas normal, principal e assimptóticas.
• Curvatura média e curvatura de Gauss. Cálculos de curvaturas de superfícies: Elipsóide astroidal, superfície de Monge. Superfícies regradas: parabolóide hiperbólico conóide, superfícies desenvolvíveis.
• Superfíceis de revolução. Superfícies de revolução com curvatura de Gauss constante.
• Superfícies mínimas: catenóide, helicóide, deformações isométricas.
• Superfícies mínimas de Enneper, de Scherk, de Henneberg, de Catalan.
• Superfícies mínimas conjugadas e associadas.
• Superfícies paralelas, superfícies podais, superfícies helicoidais: superfície sacacorchos, superfície de Dini. Superfície por torção: Lissajous.

REFERÊNCIAS:

1. Introduction to Maple. André Heck. Springer, 2003.
2. Geometria diferencial de curvas y superfícies. Luis A. Cordero, Marisa Fernández e Alfred Gray. Addison-Wesley Ibero americana, 1995.
3. Courbes, Revue du Palais de la Découverte, 45, 1995.