Surface dynamics and 3D geometry and topology: the horseshoe and its geometric limits
André Salles de Carvalho (USP)

Uma construção básica em topologia é o toro suspensão (mapping torus): dado um homeomorfismo f de um espaço S, um novo espaço M (f, S) é construído tomando o produto de S com o intervalo unitário e colando as duas extremidades S × {0} e S × {1} por meio da aplicação f . Quando f é um homeomorfismo de uma superfície S, M (f, S) é uma 3-variedade, e Thurston provou que, se para toda curva fechada simples c suas iteradas por f nunca são isotópicas a c, então M (f, S) admite uma métrica hiperbólica (isto é, uma métrica completa com curvatura seccional constante igual a -1) de volume finito. Quando f é um homeomorfismo do disco D com muitas órbitas periódicas — tal como a ferradura de Smale — podemos considerar os toros de aplicação M (f, D − P ), onde P é uma órbita periódica de f . Topologicamente, M (f, D − P ) é simplesmente um toro sólido menos o nó obtido seguindo a órbita P sob o fluxo de suspensão. Discutiremos uma família de variedades hiperbólicas M (f, D − P ), onde f é a ferradura e P são órbitas periódicas da ferradura, e mostraremos como entender a dinâmica ajuda a esclarecer um descompasso misterioso entre a convergência de homeomorfismos do disco na topologia uniforme e a convergência de 3-variedades geométricas na topologia de Gromov–Hausdorff (geométrica).