P3 de Álgebra Linear I - 2002.2

Data: 23 de novembro de 2002

Horário: 10:00 - 11:50

to to 0.7Nome:  Matrícula: to to 0.7Assinatura: Turma:

Questão	Valor	Nota	Revis.
1	2.5
2a	0.5
2b	0.5
3a	2.0
3b	1.5
4a	0.5
4b	0.5
5a	0.5
5b	0.5
5c	0.5
5d	1.0
Total	10.5

Instruções:

• Não é permitido usar calculadora. Mantenha o celular desligado.

• É proibido desgrampear a prova. Prova com folhas faltando ou rasuradas terá nota zero.

• Nas questões 2, 3 e 4 justifique cuidadosamente todas as respostas de forma completa, ordenada e coerente. Escreva de forma clara e legível.
• Faça a prova na sua turma.

Marque no quadro as respostas da primeira questão. Não é necessário justificar esta questão.

ATENÇÃ0: resposta errada vale ponto negativo!. A questão pode ter nota negativa!

Para uso exclusivo do professor	*****	*****
Certas:	$\qquad$ $\times$ 0.3 $\qquad$
Erradas:	$\qquad$ $\times$ -0.2 $\qquad$
*****	Total

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e/ou rasuradas valerão -0.2.

Itens	V	F	N
1.a
1.b
1.c
1.d
1.e
1.f
1.g
1.h
1.i

1.a) Seja A uma matriz simétrica inversível. Então sua inversa também é simétrica.

1.b) O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

1.c) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.

1.d) A matriz

é diagonalizável.

1.e) A matriz

tem autovalores 0 (de multiplicidade 2) e 111+444+999=1554.

1.f) Seja R uma rotação de $\mathbb{R} ^3$ de ângulo $\alpha$ e eixo de rotação a reta r que contém a origem. Então, para todo vetor não nulo u de $\mathbb{R} ^3$, se verifica que o ângulo entre u e R(u) é $\alpha$.

1.g) Seja A uma matriz simétrica $3\times 3$ e os vetores u=(1,1,1) e v=(1,-2,1) autovetores de A cujos autovalores são 1763 e 23578. Então (1,0,-1) é um autovetor de A.

1.h) Seja A uma matriz simétrica $3\times 3$ cujo determinante é 30. Suponha que 3 e 5 são autovalores de A. Então o traço de A é 10.

1.i) Suponha que A é uma matriz $3\times 3$ tal que A² é simétrica. Então A é simétrica.

2) Considere a matriz

(2.a) Estude que condições devem satisfazer os números reais a e b para que a matriz seja ortogonal.

(2.b) Veja se é possível escolher a e b para que a matriz A represente um espelhamento.

3) Estude que tipo de transformações representam as matrizes A e C

$$A= \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\s... ... & \frac{-1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right).$$

$$C= \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 8 & 2 &2\\ 2&5& -4\\ 2 &-4 & 5 \end{array}\right).$$

(3.a) No casos envolvendo projeções determine a reta ou plano de projeção, nos casos envolvendo espelhamentos determine o plano ou reta de espelhamento, e nos casos envolvendo rotações determine o ângulo e o eixo de rotação.

(3.b) Determine quais das matrizes A e C são diagonalizáveis. Nos casos afirmativos determine a forma diagonal.

4) Considere as bases $\beta=\{(7)\}$ e $\gamma=\{(3)\}$ de $\mathbb{R}$. Considere também a base canônica ${\cal{E}}=\{(1)\}$ de $\mathbb{R}$. Determine:

(4.a) As matrizes de mudança de base da base $\beta$ à base canônica e da base $\gamma$ à base canônica.

(4.b) A matriz de mudança de base da base $\beta$ à base $\gamma$.

5) Considere a matriz

Sabendo que 3 é um autovalor de A:

(5.a) Determine todos os autovalores de A.

(5.b) Determine, se possível, uma base ortonormal de autovetores de A.

(5.c) Encontre, se possível, uma forma diagonal D de A.

(5.d) Determine explicitamente matrizes P e P^-1 tais que A=P D P^-1, onde D é diagonal.