P2 de Álgebra Linear I - 2001.2

Data: Sábado, 20 de outubro de 2001.

to to .7Nome:  Matrícula: to to 0.7Assinatura: Turma:

Questão	Valor	Nota	Revis.
1	3.5
2a	1.0
2b	1.0
2c	0.5
2d	0.5
3a	0.5
3b	1.0
3c	1.0
3d	0.5
3e	0.5
Total	10.0

Instruções:

• Não é permitido usar calculadora. Mantenha o celular desligado.

• É proibido desgrampear a prova. Prova com folhas faltando terá nota zero.

• Justifique todas as respostas. Escreva de forma clara, legível e organizada.
• Em cada uma das questões da prova não haverá pontuação menor que 0.5 - Verifique cuidadosamente suas respostas.
• Faça a prova na sua turma.

1) Estude se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique cuidadosamente sua resposta. Nos casos afirmativos encontre a matriz da transformação linear envolvida.

a) Existe uma rotação R tal que R(2,1)=(1,3).

b) Existe um espelhamento ou reflexão E tal que E(1,1)=(-1,1) e E(-1,1)=(1,-1).

c) Existe uma projeção ortogonal P tal que P(1,1)=(1/2,-1/2) e P(2,1)=(1/3,2/3).

d) Existe um espelhamento ou reflexão E tal que E(1,1)=(1,1) e E(2,1)=(-2,-1).

e) Existe um espelhamento ou reflexão E tal que E(2,1)=(-1,-2).

f) Existe uma transformação linear $T\colon \mathbb{R} ^2 \to \mathbb{R} ^2$ tal que T(1,1)=(5,7), T(2,1)=(1,0) e T(3,2)=(1,2).

2) Considere a transformação linear L, $L\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3$definida por

$$L(1,1,1)=(1,0,0), \quad L(1,0,1)=(0,0,1), \quad L(1,1,0)=(0,1,0).$$

a) Determine L(1,0,0) e L(0,0,1).

b) Determine a matriz de L.

c) Calcule L(1,2,3).

d) Estude se L é inversível.

3) Considere os vetores

$$v_1=(1,1,1), \quad v_2 =(1,1,0), \quad v_3=(0,1,1).$$

a) Estude se os vetores $\{v_1,v_2,v_3\}$ formam uma base de $\mathbb{R} ^3$.

Dado um vetor w escreva

w=a v₁ +b v₂ +c v₃

e considere a transformação linear

$$T\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3, \quad T(w) =b v_2 +c v_3.$$

b) Determine T(0,1,0) e T(0,0,1)

c) Determine a matriz de T.

d) Estude se T é inversível. Caso afirmativo encontre a matriz T^-1.

e) Determine a matriz de $T^8=T\circ T \circ T\circ T \circ T\circ T \circ T \circ T$.