P3 de Álgebra Linear I - 2002.2

Data: 23 de novembro de 2002

Gabarito

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e/ou rasuradas valerão -0.2.

Itens	V	F	N
1.a	V
1.b		F
1.c	V
1.d	V
1.e	V
1.f		F
1.g	V
1.h	V
1.i		F

1.a) Seja A uma matriz simétrica inversível. Então sua inversa também é simétrica.

Verdadeiro: Observe que todo autovetor u de A é autovetor de A^-1(se $A(u)=\lambda \, u$ então $A^{-1}(u)=\lambda^{-1}\, u$). Portanto, como A é simétrica, possui uma base ortonormal de autovetores, que também são autovetores de A^-1, e isto carateriza ser simétrica.

Outra forma de justificar, seja B a inversa de A. Então AB=I=BA. Logo

Mas A^t=A, logo B^tA=I, donde

B^t=B^t I= B^t(A B)= (B^tA)B= IB=B,

portanto B^t=B e B=A^-1 é simétrica.

1.b) O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

Falso: Considere, por exemplo, os produtos

1.c) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.

Verdadeiro: Lembre que o fato de uma matriz ser ortogonal está caracterizado por preservar o produto escalar, isto é, a matriz A é ortogonal se, e somente se,

para todo par de vetores u,v.

Sejam agora A e B matrizes ortogonais. Pelo comentário anterior, é suficiente verificar que

para todo par de vetores u e v. Como A e B são ortogonais,

para todo par de vetores u e v. Portanto,

o que prova a afirmação.

1.d) A matriz

é diagonalizável.

Verdadeiro: Se trata de uma matriz simétrica, portanto diagonalizável.

1.e) A matriz

tem autovalores 0 (de multiplicidade 2) e 111+444+999=1554.

Verdadeiro: Observe que se trata de uma matriz simétrica. Portanto, dianalizável. Como as linhas são proporcionais (a segunda linha é obtida multiplicando por dois a primeira, e a terceira linha é obtida multiplicando por três a primeira), o determinante é nulo. Como o determinante é o produto dos autovalores (contados com multiplicidade), existe um autovalor nulo. Os autovetores associados a 0 são os vetores não nulos do plano

Como a matriz é diagonalizável, 0 é um autovalor de A de multiplicidade dois. Finalmente, usando que a soma dos autovalores contados com multiplicidade é o traço, temos que, se $\lambda$ é o terceiro autovalor,

o que prova a afirmação.

1.f) Seja R uma rotação de $\mathbb{R} ^3$ de ângulo $\alpha$ e eixo de rotação a reta r que contém a origem. Então, para todo vetor não nulo u de $\mathbb{R} ^3$, se verifica que o ângulo entre u e R(u) é $\alpha$.

Falso: A afirmação somente é verdadeira se o vetor é perpendicular ao eixo de rotação. Por exemplo, se u é paralelo ao eixo, independentemente do ângulo de rotação, se verifica R(u)=u. Portanto, o ângulo entre u e R(u) é zero.

1.g) Seja A uma matriz simétrica $3\times 3$ e os vetores u=(1,1,1) e v=(1,-2,1) autovetores de A cujos autovalores são 1763 e 23578. Então (1,0,-1) é um autovetor de A.

Verdadeiro: Como a matriz é simétrica, possui uma base ortogonal de autovetores. Como (1,1,1) e (1,-2,1) são autovetores, seu produto vetorial é um autovetor. Observe que

Logo (1,0,-1) (que é paralelo a (3,0,-3)) é uma autovetor de A.

1.h) Seja A uma matriz simétrica $3\times 3$ cujo determinante é 30. Suponha que 3 e 5 são autovalores de A. Então o traço de A é 10.

Verdadeiro: Sejam $\lambda$, $\sigma$ e $\rho$ os autovalores de A. Temos

Portanto, fazendo $\lambda=3$ e $\sigma=5$, e como $\det (A)=30$, temos que $\rho=2$. Logo

o que prova a afirmação.

1.i) Suponha que A é uma matriz $3\times 3$ tal que A² é simétrica. Então A é simétrica.

Falso: Considere a matriz

que não é simétrica. Observe que

que é simétrica.

2) Considere a matriz

(2.a) Estude que condições devem satisfazer os números reais a e b para que a matriz seja ortogonal.

(2.b) Veja se é possível escolher a e b para que a matriz A represente um espelhamento.

Resposta:

(2.a) Os vetores (a+b,a-b)e (b-a,a+b) devem ser ortogonais e unitários. Ou seja

Logo a condição de ortogonalidade é sempre verificada. Para ver que os vetores são unitários,

Analogamente,

Ou seja, a condição é

a²+b²=1/2.

(2.b) Para a segunda parte, se a matriz representa um espelhamento, deve ser simétrica, ou seja,

Ou seja, a matriz é da forma,

Onde a deve ser $a=\pm (1/2)$. Ou seja,

Em nenhum dos casos representa um espelhamento. Logo a resposta é: não é possível escolher a e b de forma queA represente um espelhamento.

3) Estude que tipo de transformações representam as matrizes.

$$A= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} &1/\sqrt... ...6}\\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3} \end{array}\right).$$

$$C= \frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 8 & 2 &2\\ 2&5& -4\\ 2 & -4& 5 \end{array}\right).$$

(3.a) No casos envolvendo projeções determine a reta ou plano de projeção, nos casos envolvendo espelhamentos determine o plano ou reta de espelhamento, e nos casos envolvendo rotações determine o ângulo e o eixo de rotação.

(3.b) Determine quais das matrizes A e C são diagonalizáveis. Nos casos afirmativos determine a forma diagonal.

Resposta:

(3.a) Observe que a matriz

$$E= \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 &0\\ \... ...box{sen}\,\pi/4 & \cos \pi/4& 0\\ 0 & 0& 1 \end{array}\right)$$

representa, na base canônica, uma rotação de ângulo $\pi/4$ em torno do eixo $\mathbb{Z}$. Analogamente, dada uma base ortonormal $\{v_1,v_2,v_3\}$, a matriz E (na base $\beta$) representa uma rotação de ângulo $\pi/4$ e eixo paralelo ao vetor v₃.

Considere agora a base canônica $\cal{E}$ e a base ortonormal $\gamma$ dada por

$$\gamma=\{ (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0), (1/\sqrt{6}, -1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6}), (1/\sqrt{3}, -1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}).$$

Observe que a matriz ortogonal

$$P= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} &0\\ 1/... ...{6}\\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3} \end{array}\right)$$

representa a matriz de mudança de base da base canônica à base $\gamma$.

Observe que P^-1=P^te que

$$P^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} &1/... ... -1/\sqrt{3}\\ 0 & -2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3} \end{array}\right)$$

representa a mudança de base da base $\gamma$ à base canônica. Logo

A=P^-1 E P

representa uma rotação de ângulo $\pi/4$e eixo a reta (t,-t,t), $t\in \mathbb{R}$.

Finalmente, observe que a matriz C é simétrica, não ortogonal (o produto escalar das duas primeiras colunas é não nulo), e tem traço 1/9(8+5+5)=18/9=2. Logo a matriz C é candidata a representar uma projeção em um plano (espelhamentos e rotações correspondem a matrizes ortogonais, e projeções ortogonais em um uma reta têm traço 1). Em tal caso, C(1,0,0) e C(0,1,0) pertencem ao plano de projeção, logo (4,1,1) e (2,5,-4) seriam dois vetores paralelos ao plano. Verifiquemos que C(4,1,1)=(4,1,1) e C(2,5,-4)=(2,5,-4):

$$\frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 8 & 2 &2\\ 2&5& -4\\ ... ...ht)= \left( \begin{array}{ccc} 4\\ 1\\ 1 \end{array}\right).$$

Analogamente,

$$\frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 8 & 2 &2\\ 2&5& -4\\ ... ...t)= \left( \begin{array}{ccc} 2\\ 5\\ -4 \end{array}\right).$$

Portanto, o outro autovalor de C é zero ($\lambda=1$ tem multiplicidade dois e o traço é 2) e o vetor normal ao plano $\pi$paralelo aos vetores acima é um autovetor (lembre que A é simétrica): este vetor é:

logo (1,-2,-2) é um autovetor de Cde autovalor 0. Logo C representa uma projeção ortogonal no plano x-2y-2z=0.

(3.b) A matriz A é semelhante a matriz de rotação E que não é diagonalizável. Portanto, A não é diagonalizável.

Finalmente, a matriz C é simétrica, portanto diagonalizável. Como seus autovalores são 0 (simples) e 1 (de multiplicidade 2), uma forma diagonal de C é:

4) Considere as bases $\beta=\{(7)\}$ e $\gamma=\{(3)\}$ de $\mathbb{R}$. Considere também a base canônica ${\cal{E}}=\{(1)\}$ de $\mathbb{R}$. Determine:

(4.a) As matrizes de mudança de base da base $\beta$ à base canônica e da base $\gamma$ à base canônica.

(4.b) A matriz de mudança de base da base $\beta$ à base $\gamma$.

Resposta

(4.a) Lembre que se $\rho$ é uma base, a matriz de mudança de base da base $\rho$ à base canônica tem por colunas os vetores da base $\rho$ expressados na base canônica. Portanto,

• a matriz de mudança da base $\beta$ à base canônica é a matriz $1\times 1$M=(7),
• a matriz de mudança da base $\gamma$ à base canônica é a matriz $1\times 1$N=(3).

Isto também implica,

• a matriz de mudança da base canônica à base $\beta$ é a inversa de M, M^-1=(1/7),
• a matriz de mudança da base canônica à base $\gamma$ é a inversa de N, N^-1=(1/3).

(4.b) Finalmente, para calcular a mudança de base da base $\beta$ à base $\gamma$ faremos o seguinte:

• mudaremos de $\beta$ à base canônica, matriz M,
• mudaremos da base canônica à base $\gamma$, matriz N^-1.

O resultado sera a matriz produto:

N^-1M=(1/3) (7)=(7/3).

5) Considere a matriz

Sabendo que 3 é um autovalor de A:

(5.a) Determine todos os autovalores de A.

(5.b) Determine, se possível, uma base ortonormal de autovetores de A.

(5.c) Encontre, se possível, uma forma diagonal D de A.

(5.d) Determine explicitamente matrizes P e P^-1 tais que A=P D P^-1, onde D é diagonal.

Resposta:

(5.a) Para determinar os autovalores há duas possibilidades. A primeira é calcular o polinômio característico da matriz:

Portanto, os autovalores são 3 (de multiplicidade 2) e 0, de multiplicidade 1. Observe que v. não usou o dado $\lambda=3$é um autovalor.

Outra possibilidade, especialmente se v. não gosta de polinômios característicos, é calcular os autovetores de 3, para isto devemos resolver o sistema,

A solução é o plano

x+y+z=0.

Como A é simétrica, isto implica que 3 tem multiplicidade 2(pois existem dois autovetores l.i. associados a 3 e não existem três autovetores l.i.). Agora, como o traço de A é 6, temos que se $\sigma$ é o outro autovetor,

Para usos posteriores, observe que os cálculos feitos implicam que os autovetores associados a 0 são paralelos a (1,1,1)(o vetor normal do plano de autovetores -excluido o vetor nulo- de 3).

(5.b) Os cáculos feitos acima implicam que (1,-1,0) é um autovetor de 3 e (1,1,1) é um autovetor de 0. Como A é simétrica, seu produto vetorial $(1,1,1)\times (1,-1,0)=(1,1,-2)$ é um autovetor de A (necessariamente associado a 3). Normalizando obtemos uma base ortonormal de autovetores de A:

$$\beta=\{ (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}), (1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0), (1/\sqrt{6},1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6})\}.$$

(5.c) Uma forma diagonal D de A terá a diagonal formada pelos autovalores de A considerados com multiplicidade. Por exemplo,

(5.d) Considerando D como no acima, as colunas de P são os autovetores associados a 0, 3 e 3. Ou seja

$$P= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{... ...1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3} & 0 & -2/\sqrt{6} \end{array}\right).$$

Como, por construção, P é ortogonal (suas colunas formam uma base ortonormal de autovetores), sua inversa é a transposta, logo

$$P^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3}& 1/\... ...0\\ 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & -2/\sqrt{6} \end{array}\right).$$