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P3 de Álgebra Linear I - 2002.1

Data: 7 de junho de 2002.

Gabarito

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e ou rasuradas valerão -0.2.

1.a) Seja A uma matriz simétrica inversível. Então sua inversa também é simétrica.

Verdadeiro: Observe que todo autovetor u de A é autovetor de A^-1(se $A(u)=\lambda \, u$ então $A^{-1}(u)=\lambda^{-1}\, u$ ). Portanto, como A é simétrica, possui uma base ortonormal de autovetores, que também são autovetores de A^-1, e isto carateriza ser simétrica.

Outra forma de justificar, seja B a inversa de A. Então AB=I=BA. Logo

$\begin{displaymath}(AB)^t=I^t=(BA)^t, \quad B^t A^t=I= A^t B^t. \end{displaymath}$

Mas A^t=A, logo B^tA=I, donde

B^t=B^tA B=IB=B.

1.b) A multiplicação de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

Falso: Considere o produtos

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{array}\right) \l... ... = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right). \end{displaymath}$

1.c) Sejam A uma matriz $3\times 3$ e D uma matriz diagonal tais que A=P D P^-1 (onde P é uma matriz $3\times 3$ inversível). Então A é simétrica.

Falso: Existem matrizes que são diagonalizáveis (ou seja, satisfazendo o enunciado) que não são simétricas. Por exemplo, a matriz

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 &0\\ 1 & 2& 3 \end{array}\right) \end{displaymath}$

é diagonalizável (possui três autovalores diferentes, 1, 2 e 3) e não é simétrica.

Ou de outra forma,

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &1\\ 0 ... ...& 0 &-1\\ 0 & 0& 0\\ 0 & 0 &0 \end{array}\right). \end{array}\end{displaymath}$

1.d) Seja A uma matriz $3\times 3$ diagonalizável. Suponha que B=P A P^-1 (onde P é uma matriz $3\times 3$ inversível). Então B é diagonalizável.

Verdadeiro: É exatamente a definição matriz diagonalizável: ser semelhante a uma matriz diagonal. Observe que A=MDM^-1 onde D é diagonal, logo

B=PM DM^-1P^-1= (PM) D (PM)^-1.

1.e) Sejam A uma matriz $3\times 3$ e $\sigma$ e $\lambda$ autovalores de A. Então $\sigma+\lambda$ é um autovalor de A.

Falso: Considere

$\begin{displaymath}A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Temos que 1 e 2 são autovalores e que 1+2=3 não é autovalor.

1.f) Seja R uma rotação de $\mathbb{R} ^3$ de ângulo $\alpha$ e eixo de rotação a reta r que contém a origem. Então, para todo vetor não nulo u de $\mathbb{R} ^3$ , se verifica que o ângulo entre u e R(u) é $\alpha$ .

Falso: A afirmação somente é verdadeira se o vetor é perpendicular ao eixo de rotação. Por exemplo, se u é paralelo ao eixo, independentemente do ângulo de rotação, se verifica R(u)=u. Portanto, o ângulo entre u e R(u) é zero.

1.g) Seja A uma matriz ortogonal $3\times 3$ . Então o determinante de A é $\pm 1$ .

Verdadeiro: Sejam u, v e w os vetores coluna da matriz. Então, o valor absoluto do determinante de A é $\vert u\cdot (v\times w)\vert$ , que é o volume do paralelepípedo de arestas u, v e w. Como estes vetores são ortogonais e unitários, dito volume é 1.

Outra forma,

$\begin{displaymath}A^t A=I, \quad \vert A\vert^2=\vert A^t\vert\vert A\vert=\vert I\vert=1. \end{displaymath}$

Logo $\vert A\vert=\pm 1$ .

1.h) Seja A uma matriz diagonalizável. Então A³ também é diagonalizável.

Verdadeiro: É suficiente provar que existe uma base de autovetores de A³. Como A é diagonalizável, existe uma base de autovetores de A, $\beta=\{u, v, w\}$ com $A(u)=\lambda \, u$ , $A(v)=\sigma \, v$ e $A(w)=\tau \, w$ (onde $\lambda$ , $\sigma$ e $\tau$ não são necessariamente diferentes). Temos $A^3(u)=\lambda^3 \, u$ , $A^3(v)=\sigma^3 \, v$ e $A^3(w)=\tau^3 \, w$ . Portanto, u, v e w são autovetores de A³, assim $\beta$ é uma base de autovetores de A³ e A³é diagonalizável.

Outra forma,

$\begin{displaymath}A=PDP^{-1}, \quad A^3=PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1},=PD^3P^{-1}. \end{displaymath}$

Como D³ é diagonal, se segue a afirmação.

1.i) Seja A uma matriz $2\times 2$ ortogonal e simétrica. Então A é a identidade ou representa um espelhamento.

Falso: Considere

$\begin{displaymath}A= \left( \begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Itens	V	F	N
1.a	v
1.b		f
1.c		f
1.d	v
1.e		f
1.f		f
1.g	v
1.h	v
1.i		f

2) Considere a matriz

$\begin{displaymath}A= \left( \begin{array}{cc} 1/2 & a\\ b & c \end{array}\right). \end{displaymath}$

Determine

: (2.a) a, b e c para que A represente uma projeção ortogonal,
: (2.b) a, b e c para que A represente um espelhamento,
: (2.c) a, b e c para que A represente uma rotação.

Considere agora a matriz B

$\begin{displaymath}B= \left( \begin{array}{ccc} 1/3 & a &b\\ 1/3 & c &d\\ 1/3 & e & f \end{array}\right). \end{displaymath}$

: (2.d) Determine a, b, c, d, e e fpara que B represente uma projeção ortogonal em uma reta.
: (2.e) Determine a reta de projeção de B.

Resposta: No caso da projeção. A matriz tem traço 1 (a soma dos autovalores 1 e 0). Logo c=1/2. Como a matriz é simétrica, temos a=b. Como tem determinante zero, temos a²=1/4. Logo $a=\pm 1/2$ . Logo existem duas possibilidades,

$\begin{displaymath}A= \left( \begin{array}{cc} 1/2 & 1/2\\ 1/2 & 1/2 \end{array... ...\begin{array}{cc} 1/2 & -1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Para o espelhamento, a matriz tem traço 0 (a soma dos autovalores 1 e -1). Logo c=-1/2. Como a matriz é simétrica, temos a=b. Como é ortogonal, temos $b=\pm \sqrt{3}/2$ . Logo existem duas possibilidades,

$\begin{displaymath}A= \left( \begin{array}{cc} 1/2 & \sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2 & ... ...c} 1/2 & -\sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Finalmente, para o caso da rotação, a matriz deve ser ortogonal e não simétrica. Portanto, pelos argumentos acima, temos duas possibilidades,

$\begin{displaymath}A= \left( \begin{array}{cc} 1/2 & \sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2 &... ...{cc} 1/2 & -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Para a matriz $3\times 3$ . Como se trata de uma projeção ortogonal, a matriz deve ser simétrica. Ou seja a=b=1/3. Como se trata de uma projeção em uma reta, temos que $(a,c,e)=\lambda (1/3, 1/3, 1/3)$ e $(b ,d,f)=\sigma (1/3, 1/3, 1/3)$ . De a=b=1/3 obtemos $\lambda=\sigma=1$ . Logo

$\begin{displaymath}B= \left( \begin{array}{ccc} 1/3 & 1/3 &1/3\\ 1/3 & 1/3 &1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Finalmente, como B(1,0,0)=(1/3,1/3,1/3) é paralelo à reta r de projeção, temos r=(t,t,t), $t\in \mathbb{R}$ .

3) Considere a transformação linear $T\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3$ tal que

$\begin{displaymath}T(1,1,1)=(-1,-1,-1), \quad T(1,1,-2)=(1,1,-2). \end{displaymath}$

Sabendo que a matriz de T é simétrica e possui determinante zero:

: (3.a) Determine os autovalores de T.
: (3.b) Determine uma base de autovetores de T.
: (3.c) Escreva T da forma T=PD P^-1 onde D é uma matriz diagonal.
: (3.d) Calcule explicitamente T¹⁰⁰⁰.

Resposta: Das hipóteses T(1,1,1)=(-1,-1,-1)=-1(1,1,1) e T(1,1,-2)=(1,1,-2) temos que 1 e -1 são autovalores. Como o determinante é nulo e é igual ao produto dos autovalores, o terceiro autovalor é 0.

Já conhecemos dois autovetores. Como a matriz é simétrica, o terceiro autovalor deve ser perpendicular aos outros dois, ou seja, paralelo a $(1,1,1)\times (1,1,-2)=(-3,3,0)$ . Logo uma base de autovetores é $\beta=\{(1,1,1), (1,1,-2), (1,-1,0)$ .

Escolhendo a base ortonormal de autovetores

$\begin{displaymath}\gamma=\{(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}), (1/\sqrt{6},1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6}), (1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0). \end{displaymath}$

Observe que na base $\gamma$ a matriz de T é diagonal:

$\begin{displaymath}D= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Logo

[T]=P D P^-1,

onde

$\begin{displaymath}P= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} &1/\sqrt... ...1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{3} & -2/\sqrt{6} & 0 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Como P é ortogonal, temos

P^-1=P^t.

Finalmente,

T¹⁰⁰⁰=P D¹⁰⁰⁰ P^-1.

Observe que

$\begin{displaymath}D^{1000}= \left( \begin{array}{ccc} (-1)^{1000} & 0 &0\\ 0 &... ...ay}{ccc} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Logo

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} T^{1000}&= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqr... ...&0\\ 1/2 & 1/2 &0\\ 0 & 0 &1 \end{array}\right). \end{array}\end{displaymath}$

Veja que o resultado é coerente: uma matriz simétrica com traço 2.

4) Determine quais das matrizes a seguir são diagonalizáveis. Nos caso afirmativos encontre uma base de autovetores e uma forma diagonal das matrizes.

$\begin{displaymath}A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 1 & 2 &0\\ 1 & 1 & ... ...ay}{ccc} 1 & 0 &0\\ 1 & 2 &0\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Resposta: A matriz A é triangular. Seus autovalores são os elementos da diagonal, ou seja, 1, 2 e 3. Como são diferentes, é diagonalizável, e sua forma diagonal é

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 0& 2 &0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Seus autovetores são as soluções não triviais dos seguintes sistemas:

$\lambda=1$ ,

$\begin{displaymath}x=x, \quad x+2y=y,\quad x+y+3z=z. \end{displaymath}$

Uma solução não trivial é (1,-1,0).

$\lambda=2$ ,

$\begin{displaymath}x=2x, \quad x+2y=2y,\quad x+y+3z=2z. \end{displaymath}$

Uma solução não trivial é (0,1,-1).

$\lambda=3$ ,

$\begin{displaymath}x=3x, \quad x+2y=3y,\quad x+y+3z=3z. \end{displaymath}$

Uma solução não trivial é (0,0,1).

Logo uma base de autovetores é $\beta=\{(1,-1,0),(0,1,-1), (0,0,1)\}$ .

A matriz B é simétrica. Portanto, é diagonalizável. Seu polinômio característico é

$\begin{displaymath}p(\lambda)= \lambda^2 (1-\lambda)+\lambda = \lambda( \lambda -\lambda^2+1). \end{displaymath}$

Ou seja, os autovalores são 0 e $1/2(1\pm \sqrt{5})$ . Verificamos que uma base de autovetores é

$\begin{displaymath}\{(0,1,0), ((1+\sqrt{5})/2,0,1) ((1-\sqrt{5})/2,0,1)\}. \end{displaymath}$

Finalmente, sua forma diagonal é

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 &0\\ 0& (1+\sqrt{5})/2 &0\\ 0 & 0 & 1/2(1-\sqrt{5})/2 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Finalmente, a matriz Cé triangular. Seus autovalores são os elementos da diagonal, ou seja, 1 (duplo) e 2. Para calcular os autovetovetores associados a 1resolvemos

x+y=0.

Que fornece dois autovetores l.i. (0,0,1) e (1,-1,0). Finalmente, para os autovetores associados a 2resolvemos

$\begin{displaymath}-x=0, \quad x+y-z=0. \end{displaymath}$

Logo (0,1,1) é autovetor. Uma base de autovetores é

$\begin{displaymath}\{ (0,0,1), (1,-1,0), (0,1,1)\}. \end{displaymath}$

Finalmente, uma forma diagonal é

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 0& 1&0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right). \end{displaymath}$

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Lorenzo J. Diaz
2002-06-07