P3 de Álgebra Linear I - 2001.2

Data: Sábado, 24 de novembro de 2001.

Gabarito

1) Seja $T\colon \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R} ^3$ uma transformação linear ortogonal. Suponha que o determinante da matriz de T na base canônica é -1 e que

$$T(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})= (-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sq... ...qrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})= (1/\sqrt{6}, -2/\sqrt{6}, 1/\sqrt{6}).$$

a) Determine um autovalor de T.

b) Determine T(1,-2,1).

c) Determine T(1,0,0).

d) Determine a matriz de T em uma base ortonormal (v. escolhe a base e deve especifica-la).

Resposta: Afirmamos que (sem necessitar saber quem é T) um autovalor de T é -1. Observe que, como T é uma transformação de $\mathbb{R} ^3$, seu polinômio característico tem grau 3. Portanto, tem uma raiz real (correspondendo a um autovalor de T). Como T é ortogonal, os autovalores têm módulo 1. Logo existe um autovalor real igual a 1 ou -1. Se é -1 não temos mais nada que ver. Caso contrário as possibilidades são: um autovalor 1 com multiplicidade três, ou um autovalor 1 e dois autovalores complexos (não reais) conjugados de módulo 1, digamos $\lambda$ e $\bar \lambda$. Como o determinante de T é o produto dos autovalores (contados com multiplicidade), no primeiro caso o determinante é 1, o que é absurdo. No segundo caso o determinante vale $1 \lambda \bar\lambda= \vert\lambda\vert^2=1$, o que também é absurdo.

Observe que (1,1,1), (-1,0,1) e (1,-2,1) são vetores ortogonais. Portanto, como T é ortogonal, T(1,1,1) e T(1,-2,1) são ortogonais. Analogamente, T(-1,0,1) e T(1,-2,1) também são ortogonais. Logo T(1,-2,1) é paralelo a $T(1,1,1)\times T(-1,0,1)$. Logo T(1,-2,1) é paralelo a $(-1,0,1)\times (1,-2,1)=(2,2,2)$. Isto é, T(1,-2,1) é paralelo a (1,1,1). Portanto, como T é ortogonal, conserva módulos, e temos que

$$T(1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6},1/\sqrt{6})= \pm (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}).$$

Devemos decidir o sinal $\pm$ (um sinal correspondera a determinante igual a 1e o utro a determinante igual a -1).

Para isto considere a base ortonormal $\beta=\{u,v,w\}$ onde

$$\beta= \{(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}), (-1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2}), (1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6},1/\sqrt{6})\}.$$

Observe que T(u)=v e T(v)=w. Se T(w)=u (isto é, tomamos o sinal positivo) a matriz de T na base $\beta$ é

$$[T]_\beta =\left( \begin{array}{ccc} 0 &0 & 1\\ 1 &0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ \end{array}\right).$$

Observe que o determinante da matriz anterior é 1. Observe que a matriz de T na base canônica é semelhante a $[T]_\beta$, portanto estas matrizes têm o mesmo determinante. Logo em tal caso o determinante de T é 1. O que é absurdo. Logo a matriz de T na base $\beta$ é

$$[T]_\beta =\left( \begin{array}{ccc} 0 &0 & -1\\ 1 &0 & 0\\ 0 &1 & 0 \end{array}\right).$$

Ou seja,

$$T(1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6},1/\sqrt{6})= - (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}).$$

Isto é,

$$T(1,-2,1)= -\sqrt{6} (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}),$$

pois $\vert\vert T(1,-2,1)\vert\vert=\vert\vert(1,-2,1)\vert\vert=\sqrt{6}$.

Observe que também resolvemos o item (d).

Finalmente, para determinar T(1,0,0), escreva,

$$(1,0,0)= x (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})+ y (-1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})+ z (1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6},1/\sqrt{6}).$$

Como a base é ortonormal,

$$\begin{array}{ll} x&= (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})\cdo... ...6},-2/\sqrt{6},1/\sqrt{6})\cdot (1,0,0)=1/\sqrt{6}. \end{array}$$

Logo

$$\begin{array}{ll} T(1,0,0)&= (1/\sqrt{3})\, T(1/\sqrt{3},1/\... ...1/\sqrt{6})\, T(1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6},1/\sqrt{6}). \end{array}$$

Ou seja

$$\begin{array}{ll} T(1,0,0)=& (1/\sqrt{3}) \,(-1/\sqrt{2},0,1/... ...(1/\sqrt{6})\, (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}). \end{array}$$

Portanto,

$$T(1,0,0)= \frac{1}{\sqrt{36}}\, (-\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{2},,-\sqrt{2}+2\sqrt{3}, \sqrt{6}-\sqrt{3} -\sqrt{2}).$$

2) Seja A uma matriz $3\times 3$. Suponha que

$$\det (A-\lambda I)= -(\lambda-3)^2(\lambda-2).$$

a) Estude se A é inversível.

b) Estude se A pode ser encontrada de maneira que A seja semelhante à matriz diagonal

$$D= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 &0\\ 0 &2& 0\\ 0 & 0& 3 \end{array}\right),$$

isto é, A=P D P^-1.

c) Estude se A pode ser encontrada de maneira que A seja semelhante à matriz

$$D= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 &0\\ 1 &3& 0\\ 0 & 0& 2 \end{array}\right).$$

d) Suponha agora que A é simétrica. Estude se A pode ser encontrada de maneira que seja semelhante à matriz

$$D= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 &0\\ 0 &3& 0\\ 0 & 0& 2 \end{array}\right).$$

Resposta: A matriz A sim é inversível. Os autovalores de A são as raizes do polinômio característico. Ou seja 2 e 3 (com multiplicidade dois). Podemos ver que A é inversível de duas formas: primeiro, como A não tem autovalor zero é inversí'vel. Ou de outra forma, como o determinante de A é o produto dos autovalores contados com multiplicicade, no caso 18. Como o determinante é não nulo é inversível.

A resposta ao item (b) é negativa. Podemos ver isto de duas formas. Duas matrizes semelhantes têm o mesmo determinante. O determinante de A é 18, como vimos, o de D é 12. Logo não são semelhantes.

De outra forma, as matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores com a mesma multiplicidade. Mas a matriz D tem o autovalor 2 com multiplicidade 2 e 3com multiplicidade 1. Logo não são semelhantes.

Para o item (c) a resposta é novamente negativa. Um método é calcular os determinantes. Veja que o determinante de D é $16\ne 18$.

Outra forma, veja que D tem polinômio característico $(\lambda-2) ((\lambda-3)^2-1)= (\lambda-2)^2(\lambda-4)$. Logo seus autovalores são 4 e 2, que são diferentes dos autovalores de A. Portanto, as matrizes não são semelhantes.

Finalmente, a resposta ao item (d) é negativa. Toda matriz simétrica é diagonalizável. Portanto, A somente pode ser semelhante a matrizes diagonalizáveis. Mas a matriz D do item (d) não é diagonalizável. Seus autovalores são 3 (multiplicidade 2) e 2 (para ver isto observe que D é triangular). Mas para 3 somente podemos encontrar um autovetor linearmente independente: Os autovetores de autovalor 3 verificam (D-3I)(v)=(0,0,0), ou seja

$$y=0, \quad -z=0,$$

ou seja, os autovalores são da forma (t,0,0), $t\in \mathbb{R}$, $t\ne 0$, isto é, somente é possível encontrar dois autovetores l.i. de D, logo não é diagonalizável.

3) Estude que tipo de transformações representam as matrizes.

$$A= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} &1/\sqrt... ...6}\\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3} \end{array}\right).$$

$$B=\left( \begin{array}{ccc} -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} &-1/\sq... ...6}\\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3} \end{array}\right).$$

$$C= \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 &-1\\ -1&2& -1\\ -1 & -1& 2 \end{array}\right).$$

No casos envolvendo projeções determine a reta ou plano de projeção, nos casos envolvendo espelhamentos determine o plano ou reta de espelhamento, e nos casos envolvendo rotações determine o ângulo e o eixo de rotação.

Resposta: Observe que a matriz

$$E= \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 &0\\ \... ...box{sen}\,\pi/4 & \cos \pi/4& 0\\ 0 & 0& 1 \end{array}\right)$$

representa, na base canônica uma rotação de ângulo $\pi/4$ em torno do eixo $\mathbb{Z}$. Analogamente, dada uma base ortonormal $\{e_1,e_2,e_3\}$, a matriz E (na base $\beta$) representa uma rotação de ângulo $\pi/4$ e eixo paralelo ao vetor e₃.

Considere agora a base canônica $\cal{E}$ e a base ortonormal $\gamma$ dada por

$$\gamma=\{ (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0), (1/\sqrt{6}, -1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6}), (1/\sqrt{3}, -1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}).$$

Observe que a matriz ortogonal

$$P= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} &0\\ 1/... ...{6}\\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3} \end{array}\right)$$

representa a matriz de mudança de base da base canônica à base $\gamma$.

Observe que P^-1=P^te que

$$P^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} &1/... ... -1/\sqrt{3}\\ 0 & -2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3} \end{array}\right)$$

representa a mudança de base da base $\gamma$ à base canônica. Logo

A=P^-1 E P

representa uma rotação de ângulo $\pi/4$e eixo a reta (t,-t,t), $t\in \mathbb{R}$.

Para a segunda matriz observe que

$$B= T \, A, \quad T= \left( \begin{array}{ccc} -1& 0&0\\ 0& 1& 0\\ 0 & 0& 1 \end{array}\right).$$

Claramente T representa o espelhamento no plano x=0. Logo B representa uma rotação de ângulo $\pi/4$e eixo a reta (t,-t,t), $t\in \mathbb{R}$ seguida de um espelhamento no plano x=0.

Finalmente, observe que a matriz C, é simétrica, não ortogonal (o produto escalar das duas primeiras colunas é não nulo) e tem traço 1/3(2+2+2)=6/3=2. Logo a matriz C é candidata a representar uma projeção em um plano (espelhamentos e rotações correspondem a matrizes ortogonais, e projeções ortogonais em um plano têm traço 1). Em tal caso, C(1,0,0) e C(0,1,0) pertencem ao plano de projeção, logo (2,-1,-1) e (-1,2,-1) seriam dois vetores paralelos ao plano. Verifiquemos que C(2,-1,-1)=(2,-1,-1) e C(-1,2,-1)=(-1,2,-1):

$$\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 &-1\\ -1&2& -1\... ...)= \left( \begin{array}{ccc} 2\\ -1\\ -1 \end{array}\right).$$

Analogamente,

$$\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 &-1\\ -1&2& -1\... ...)= \left( \begin{array}{ccc} -1\\ 2\\ -1 \end{array}\right).$$

Portanto, o outro autovalor de C é zero ($\lambda=1$ tem multiplicidade dois e o traço é 2) e o vetor normal ao plano $\pi$paralelo aos vetores acima é um autovetor (lembre que A é simétrica), este vetor é (1,1,1). Logo C representa uma projeção. ortogonal no plano x+y+z=0.

4) $\,$

a) Seja A uma matriz simétrica $3\times 3$. Sabendo que A²⁰⁰¹=-I(I é a matriz identidade), determine A.

b) Estude se existe uma matriz simétrica $3\times 3$, B, tal que B²⁰⁰⁰=-I.

c) Estude se é verdadeira a afirmação seguinte: Seja C uma matriz $3\times 3$ tal que C⁵=0. Então Cé a matriz zero.

Resposta: Para o item (b) a resposta é negativa: $\det(B^{2000})=(\det(B))^{2000}$, que é um número não negativo (2000 é par!). Mas se a matriz menos identidade $3\times 3$ tem determinante -1. Logo não existe nenhuma matriz B tal que B²⁰⁰⁰=-I.

Para o item (a) argumentamos como segue. Como a matriz A é simétrica é diagonalizável. Seja D uma forma diagonal de A,

$$D= \left( \begin{array}{ccc} a &0 &0\\ 0&b& 0\\ 0 & 0& c \end{array}\right).$$

Como vimos em sala de aula,

$$D^m= \left( \begin{array}{ccc} a^m &0 &0\\ 0&b^m& 0\\ 0 & 0& c^m \end{array}\right).$$

Escreva A=P D P^-1. Observe que A^m=P D^m P^-1(como também vimos na aula). Faça m=2001. Logo

$$-I = A^{2001}= P \, D^{2001} \, P^{-1}, \quad -I = P \, D^{2001} \, P^{-1}.$$

Multiplicando as duas expressoes á esquerda por P^-1 e à direita por P,

$$-(P^{-1}\, I \, P) =( P^{-1} \, P) \, D^{2001}\, ( P^{-1} \, P), \quad -I =D^{2001}.$$

Logo

$$-1=a^{2001}, \quad -1= b^{2001}, \quad -1 =c^{2001}.$$

A única solução é a=b=c=-1. Ou seja D=-I e

$$A=P\, D \, P^{-1}= P \, (-I) \, P^{-1}=- (P \, P^{-1})=-I.$$

Logo A é menos a identidade.

A resposta para o item (c) é negativa, considere por exemplo a matriz

$$C= \left( \begin{array}{ccc} 0 &0 &0\\ 0&0& 0\\ 1 & 0& 0 \end{array}\right).$$

Observe que

$$C^2 =C \, C = \left( \begin{array}{ccc} 0 &0 &0\\ 0&0& 0\\ ... ...{array}{ccc} 0 &0 &0\\ 0&0& 0\\ 0 & 0& 0 \end{array}\right).$$

Logo $C^3=C^2\, C=0\, C=0$. Analogamente, C⁴=C⁵=0 e C é não nula.