P2 de Álgebra Linear I - 2002.2

Data: 11 de outubro de 2002.

Gabarito

1) Considere a família de vetores de $\mathbb{R} ^3$

1.a) Estude se os vetores da família $\cal{E}$ são linearmente independentes.

1.b) Determine todas as bases de $\mathbb{R} ^3$ formadas por vetores diferentes que podem ser obtidas usando os vetores de $\cal{E}$(isto é, bases formadas pelos mesmos vetores em ordem diferente contam como a mesma, ou seja, as bases $\{u,v,w\}$ e $\{v,w,u\}$ contam uma única vez).

Considere agora a família de vetores de $\mathbb{R} ^3$

1.c) Veja que $\beta$ é uma base de $\mathbb{R} ^3$.

1.d) Determine as coordenadas do vetor (3,6,5) na base $\beta$.

1.e) Considere agora o vetor w que na base $\beta$ tem coordenadas $(1,1,1)_\beta$ (isto é, $w=1\, u_1+ 1\, u_2+ 1\, u_3)$. Determine as coordenadas de w na base canônica.

1.f) Considere agora os vetores w₁, w₂ e w₃ que na base $\beta$têm coordenadas

Estude se os vetores w₁, w₂ e w₃ formão uma base de $\mathbb{R} ^3$.

Resposta:

item (a): Os vetores da família $\cal{E}$ não são l.i.: um conjunto com mais de três vetores de $\mathbb{R} ^3$ nunca é l.i. (o maior número de vetores l.i. em $\mathbb{R} ^3$ é três).

V. também pode obter explicitamente combinações lineares não trivias cujo resultado é o vetor nulo. Por exemplo:

item (b): Observe que uma base de $\mathbb{R} ^3$ não pode conter simultaneamente os vetores (1,1,2) e (2,2,4), pois $(2,2,4)=2\,(1,1,2)$, e, portanto, toda família de vetores contendo (1,1,2) e (2,2,4) é l.d..

Similarmente, uma base de $\mathbb{R} ^3$ não pode conter simultaneamente os vetores (1,1,1) e (2,2,2), pois $(2,2,2)=2\,(1,1,1)$, e, portanto, toda família de vetores contendo (1,1,1) e (2,2,2) é l.d..

Feitas estas observações, construiremos as bases possíveis, lembrando antes que uma base de $\mathbb{R} ^3$ está formada por três vetores l.i.

Consideremos agora as bases que contém o vetor (2,2,2). Como os vetores (2,2,2) e (1,1,2) não são paralelos podem formar parte de uma base. Similarmente, os vetores (2,2,2) e (2,2,4) podem formar parte da mesma base.

Pelos comentários já feitos,

• uma base contendo os vetores (2,2,2) e (1,1,2) não pode conter nem (1,1,1) nem (2,2,4). Logo a única possibilidade é que o terceiro vetor seja (1,2,3). Logo um candidato a base é
  
  
  
  faltando conferir que os vetores são l.i..
• uma base contendo os vetores (2,2,2) e (2,2,4) não pode conter nem (1,1,1) nem (1,2,2). Logo a única possibilidade é que o terceiro vetor seja (1,2,3). Logo um candidato a base é
  
  
  
  faltando conferir que os vetores são l.i..

Observe que conferir que os vetores de $\beta_1$ e $\beta_2$ são l.i. é o mesmo (os determinante cujas linhas são os vetores são um múltiplo do outro). Para ver que são l.i.,

Logo os vetores são l.i.

Consideremos agora as bases que contém o vetor (1,1,1). Como os vetores (1,1,1) e (1,1,2) não são paralelos podem formar parte de uma base. Similarmente, os vetores (1,1,1) e (2,2,4) podem formar parte da mesma base. Como no caso anterior,

• uma base contendo os vetores (1,1,1) e (1,1,2) não pode conter nem (2,2,2) nem (2,2,4). Logo a única possibilidade é que o terceiro vetor seja (1,2,3). Logo um candidato a base é
  
  
  
  faltando conferir que os vetores são l.i.. Mas isto decorre como no caso da base $\beta_1$.
• uma base contendo os vetores (1,1,1) e (2,2,4) não pode conter nem (2,2,2) nem (1,2,2). Logo a única possibilidade é que o terceiro vetor seja (1,2,3). Logo um candidato a base é
  
  
  
  faltando conferir que os vetores são l.i.. Mas isto decorre como nos casos anteriores.

De fato já obtivemos todas as bases possíveis. Se consideramos agora as bases contendo (2,2,4) obteremos bases com os mesmos vetores que $\beta_2$ e $\beta_4$. Se consideramos agora as bases contendo (1,1,2) obteremos bases com os mesmos vetores que $\beta_1$ e $\beta_3$. Finalmente, toda base deve necessariamente conter o vetor (1,2,3): isto é decorre dos vetores (1,1,1), (2,2,2), (1,1,2) e (2,2,2) serem coplanares, todos estão no plano x-y=0, que não contém o vetor (1,2,3).

V. poderia fazer de outra forma. Primeiro observar que os vetores (1,1,1), (2,2,2), (1,1,2) e (2,2,4) são coplanares (todos estão no plano $\pi\colon x-y=0$) portanto, como o vetor (1,2,3) não pertence ao plano $\pi$, necessariamente deve formar parte das bases. Fazendo uma árvore, obtemos

 

Figure: Bases contendo (1,2,3)

(1,1,1)(1,1,1) (2,2,2)(2,2,2) (2,2,4)(2,2,4) (1,1,2)(1,1,2) (1,2,3)(1,2,3) NNão é base SPode ser base

Observe que v. obtem oito bases, mas somente quatro com vetores diferentes.

item (c): É suficiente ver que os vetores são l.i., ou seja que seu produto misto é não nulo. Temos

Logo os vetores são l.i. e, portanto, $\beta$ é uma base (três vetores l.i. de $\mathbb{R} ^3$ formam uma base).

item (d): Devemos escrever

onde (x,y,z) serão as coordenadas de w na base $\beta$. Temos os sistema

Da primeira e terceira equações obtemos z=2. Logo, substituindo z=2 nas duas primeiras equações,

Logo y=1 e x=2. Portanto, as coordenadas de w na base $\beta$ são (2,1,2).

item (e): Temos que

w=(1,1,1)+(1,2,1)+(0,1,1)=(2,4,3).

Logo as coordenadas de w na base canônica são (2,4,3).

item (f): Para ver que os vetores formam uma base é suficiente ver que são l.i., ou seja, que a única combinação linear destes vetores que fornece o vetor nulo é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Suponhamos que

Temos que ver que x=y=z=0. Escrevendo os vetores w₁, w₂ e w₃ em função de u₁, u₂ e u₃,

Ou seja

Como os vetores u₁, u₂ e u₃ são l.i.,

Da primeira e da última equação temos, x=-y e $z=2\, y$. Logo, substituindo na segunda, $-y + 2\,y-4\, y =-3\, y=0$, y=0. Logo x=y=z=0, portanto a única combinação linear dos vetores w₁,w₂,w₃ que é o vetor nulo é a trivial. Logo, os vetores são l.i., e, portanto, base.

2) Considere o vetor u=(1,1,1) e a transformação linear definida como

a) Determine a fórmula de T(x,y,z).

b) Determine a matriz de T.

c) Sem fazer cálculos, é T²=T?

d) Existe v tal que T²(v)=0 e $T(v)\ne 0$?

Resposta: Para o item (a). Temos

Portanto, a forma geral de T é

T(x,y,z)=(y-z,z-x, x-y).

Param o item (b), observe que, da forma geral de T temos,

Logo

Para resolver (c). Sem fazer cálculos, considere um vetor não nulo w perpendicular a u=(1,1,1). Então T(w) é não nulo e perpendicular a w e a u. Agora, T²(w) é perpendicular a T(w) e u, logo T²(w) é não nulo e perpendicular a T(w), logo $T(w)\ne T^2(w)$.

A resposta ao último item é negativa: se $T(v)\ne 0$ teremos (necessariamente) T(v) ortogonal a u. Logo $T^2(v)=T(v)\times u\ne 0$ e o módulo de T²(v) é $\vert T(v)\vert\vert(1,1,1)\vert=\sqrt{3}\vert T(v)\vert$, que sempre será não nulo se T(v) é não nulo. Ou seja, T²(v) é nulo se, e somente se, $T(v)=\bar 0$.

Outra forma é fazer as contas. Veja que

Veja agora que $T^2(x,y,z)=\bar 0$ é equivalente a,

Resolvendo, as soluções são da forma (t,t,t), $t\in \mathbb{R}$. Mas, em todos os casos, T(t,t,t)=0. Portanto, $T^2(v)=\bar 0$se, e somente se, $T(v)=\bar 0$.

3) Dados o plano $\pi\colon x-y+z=0$ e o vetor w=(1,1,1), considere a transformação linear M definida como segue, dado um ponto P=(x,y,z) considere o vetor $\overline{OP}= (x,y,z)$ e defina

$$M(\overline{OP})=\overline{OQ},$$

onde Q é o ponto de interseção do plano $\pi$ e da reta rque contém P e é paralela a w. Veja a figura.

pi$\pi$ rr ww v=OP $v=\overline{OP}$ PP QQ OO vv TT M(v)M(v) L(v)L(v)

Considere também a transformação linear L definida como segue,

$$L(\overline{OP})=\overline{OT},$$

onde T é o ponto da reta r tal que Q é equidistante de T e de P. Veja a figura.

a) Determine a matriz da transformação linear M.

b) Determine a matriz da transformação linear L.

c) Dado um vetor v escreva v em função de L(v) e M(v).

d) Estude se as transformações lineares M e L são inversíveis. Quando possível, calcule a matriz inversa.

Resposta: Para determinar as matrizes de M e de L procederemos de duas formas diferentes.

Primeiro, observe que dado um vetor de coordenadas v=(x,y,z) o vetor M(x,y,z) tem como coordenadas a interseção do plano x-y+z=0 e da reta (x+t, y+t,z+t). Esta interseção ocorre quando

Ou seja no ponto

Ou seja,

e sua matriz é

Para determinar L observe que

L(v)=M(v)-w,

onde o vetor w é

Logo,

Veja que estamos respondendo ao item (c):

Em resumo,

Outra forma de determinar M e L é considerar a seguinte base de $\mathbb{R} ^3$: $\{(1,1,0), (0,1,1), (1,1,1)\}$. Por definição,

Portanto, se $v=a\,(1,1,0)+b\, (0,1,1)+c\,(1,1,1)$ temos

Observe que dado um vetor (x,y,z) temos

onde

Logo,

portanto,

Analogamente,

portanto,

Finalmente,

portanto,

veja que obtemos as mesmas matrizes.

Finalmente, para o item (d). Temos que M não é injetora, pois M(1,1,1)=(0,0,0). Portanto, não possui inversa. V. também pode ver que seu determinante é nulo:

Para a transformação L veja que L²=Id. Observe que se v=M(v)+w, onde w é paralelo à direção de projeção, então

L(v)=L(M(v))+L(w),

e, observando que L(w)=-w e L(M(v))=M(v), temos

L(v)=M(v)-w.

Agora temos,

L(L(v))=L(M(v))-L(w)=M(v)-(-w)= M(v)+w= v.

Logo $L^2=L \circ L=Id$, e a inversa de L é a própria L.

V. pode também calcular o determinante de L, que é -1. Logo possui inversa. E pode calcular a inversa pelo método de Gauss.