P2 de Álgebra Linear I - 2002.1

Data: 4 de maio de 2002.

Gabarito

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e ou rasuradas valerão -0.2.

1.a) Seja P uma transformação linear de $\mathbb{R} ^2$ tal que $P^2=P\circ P=P$, então P é uma projeção ortogonal.

Falso: Por exemplo considere P sendo a identidade.

1.b) Considere vetores v, y e w de $\mathbb{R} ^3$linearmente dependentes. Então existem números reais $\sigma$ e $\lambda$tais que $v=\sigma y +\lambda w$.

Falso: É suficiente considerar vetores y e w colineares e v qualquer vetor não paralelo a y e w. Os vetores são l.d. e v não pode ser escrito como combinação linear de y e w. Por exemplo, considere os vetores v=(1,1,1), y=(1,0,1) e w=(2,0,2).

1.c) Seja $P\colon \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R} ^3$ uma projeção ortogonal em um plano e $E\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3$ um espelhamento em um plano. Então $E\circ P\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3$ é uma projeção ortogonal.

Falso: É suficiente considerar uma projeção e um espelhamento em planos diferentes. Por exemplo, sejam P a projeção ortogonal no plano z=0 e E o espelhamento no plano y=0. As matrizes de E e P são

$$P= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 0 & 1&0\\ 0 &0&0 \e... ...array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\ 0 &0&1 \end{array}\right).$$

A composição $E\circ P$ tem como matriz

$$A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\ 0 &0&0 \end{array}\right),$$

que não representa uma projeção, pois

$$A^2= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 0 & 1&0\\ 0 &0&0 \end{array}\right)\ne A.$$

1.d) Sejam $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$ três planos de $\mathbb{R} ^3$contendo a origem e P₁, P₂ e P₃ as respetivas projeções ortogonais nestes planos. Suponha que $P_3\circ P_2\circ P_1$ é a transformação linear nula. Então os planos se interceptam em um ponto.

Verdadeiro: Se se interceptaram em mais de um ponto a interseção conteria uma reta r contendo a origem. Seja $v\ne \bar 0$ o vetor diretor da reta r. Como v pertence a todos os planos, P₁(v)=P₂(v)=P₃(v)=v. Logo $P_3\circ P_2\circ P_1(v)=v\ne \bar 0$, e a transformação é diferente da transformação nula.

1.e) Dada uma base $\beta=\{u,v,w\}$ de $\mathbb{R} ^3$ considere a nova base $\gamma=\{u+v+w,u+v,u+w\}$ de $\mathbb{R} ^3$. Considere o vetor h cujas coordenadas na base $\beta$ são (1,1,1). Então as coordenadas de h na base $\gamma$ são (1/3,2/3,1/3).

Falso: Se as coordenadas de h na base $\gamma$ fossem (1/3,2/3,1/3)teriamos

h=1/3(u+v+w)+2/3(u+v)+1/3(u+w)= 4/3u+v+2/3w.

Logo as coordenadas de h na base $\beta$ seriam $(4/3,1,2/3)\ne (1,1,1)$, o que fornece uma contradição.

1.f) A matriz

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &a\\ 1 & 1 &2\\ 1 &1&1 \end{array}\right)$$

é sempre inversível (independentemente do valor de a).

Verdadeiro: O determinante da matriz é independente de a e vale -1, logo a matriz é sempre inversível (tem determinante não nulo).

1.g) Seja A uma matriz $2\times 2$ inversível. Suponha que A²=2 A. Então $\det A=2$.

Falso: Como o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes e A²=(2I)A (I a matriz identidade), temos

$$\det (A)= \det (2I)= \left\vert \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right\vert= 2\cdot 2=4\ne 2.$$

1.h) Existe uma projeção ortogonal $P\colon \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R} ^3$tal que P(1,1,2)=(0,1,1).

Falso: Caso existisse, teriamos que

(1,1,2)=(0,1,1)+n,

onde n é ortogonal a (0,1,1). Mas, n=(1,0,1) que não é ortogonal a (0,1,1)(veja que $(1,0,1)\cdot (0,1,1)=1\ne 0$).

1.i) Existe uma transformação linear $T\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^2$tal que T(1,0,0)=(1,1), T(1,1,0)=(1,1), T(1,1,1)=(1,1).

Verdadeiro: Uma transformação linear definida em $\mathbb{R} ^3$está determinada pelas imagens de três vetores l.i., como é o caso. De fato, a matriz de T é

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 1 & 0 &0 \end{array}\right).$$

Verifique (aplique a matriz aos vetores (1,0,0), (1,1,0) e (1,1,1)e veja que o resultado sempre é o vetor (1,1)).

Itens	V	F	N
1.a		F
1.b		F
1.c		F
1.d	V
1.e		F
1.f	V
1.g		F
1.h		F
1.i	V

2) Estude quais das matrizes

2.a)

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 &1\\ 1 & 1 &1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right),$$

2.b)

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1\\ 2 & -1 \end{array}\right),$$

representam uma projeção (ortogonal ou não) ou um espelhamento.

• No caso das projeções determine se são ou não ortogonais. No caso ortogonal, determine a reta ou o plano de projeção, e no caso não ortogonal a direção (reta ou plano) de projeção e o plano ou reta de projeção.
• No caso dos espelhamentos determine a reta ou o plano de espelhamento.

Resposta: Para o item (2.a) observe que

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 &1\\ 1 & 1 &1\\ 1 & 1 & 1 \... ...ay}{ccc} 1 & 1 &1\\ 1 & 1 &1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right).$$

Como P²= P é uma condição necessária para representar uma projeção, a resposta é que P não representa uma projeção.

Também sabemos que não representa um espelhamento: seu determinante é nulo (e um espelhamento tem determinante não nulo).

Para o item (2b) veja que a matriz tem determinante nulo, logo não pode representar um espelhamento. Para ver se representa uma projeção vemos que

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1\\ 2 & -1 \end{array}\right) ... ... \left( \begin{array}{cc} 2 & -1\\ 2 & -1 \end{array}\right).$$

Logo, a priori, pode ser uma projeção. Em tal caso, P(i) e P(j) devem pertencer à reta de projeção. Logo a reta de projeção deverá ser (t,t), $t\in \mathbb{R}$. Em tal caso, deveriamos ter P(1,1)=(1,1)(o que acontece, verifique).

Os vetores paralelos à direção de projeção devem verificar P(x,y)=(0,0). Para determinar esta direção resolvemos o sistema

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1\\ 2 & -1 \end{array}\right) ... ...eft( \begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right), \qquad 2x-y=0.$$

Logo a direção de projeção é (1,2). A resposta é: a matriz representa uma projeção na reta (t,t), $t\in \mathbb{R}$, na direção do vetor (1,2).

3) Considere a projeção Pno plano $\pi\colon x+y-z=0$ na direção do vetor (1,-1,-1).

3.a) Considere o vetor u=(4,-1,1)=(2,-2,-2)+(2,1,3)(onde $(2,1,3)\in \pi$). Sem determinar a matriz de P, calcule P(u).

3.b) Determine a matriz de P.

3.c) Sejam M a projeção ortogonal na reta (t,-t,-t) e N a projeção ortogonal no plano $\pi\colon x-y-z=0$. Determine as matrizes de M e N.

3.d) Determine as matrizes de $P\circ M$ e $M\circ P$.

Resposta: Para o primeiro item observe que P(2,-2,-2)=0 (pois (2,-2,-2) é paralelo à direção de projeção) e que P(2,1,3)=(2,1,3) (pois (2,1,3) pertence ao plano de projeção). Logo, como P é linear,

P(u)=P(4,-1,1)=P(2,-2,-2)+P(2,1,3)= (2,1,3).

Para determinar a matriz de P escolhemos uma base de $\pi$(por exemplo (1,0,1) e (0,1,1)) e acrescentamos o vetor (1,-1,-1) para obter uma base de $\mathbb{R} ^3$. Para cada vetor v escrevemos

v=x(1,0,1)+y(0,1,1)+z(1,-1,-1).

Então, pelos argumentos do primeiro item, temos,

P(v)=x(1,0,1)+y(0,1,1).

Temos,

(1,0,0)=x(1,0,1)+y(0,1,1)+z(1,-1,-1).

Logo,

$$1=x+z, \quad 0=y-z, \quad 0=x+y-z.$$

Logo x=0, z=1 e y=1. Portanto,

P(1,0,0)=(0,1,1).

Analogamente,

(0,1,0)=x(1,0,1)+y(0,1,1)+z(1,-1,-1).

Logo

$$0=x+z, \quad 1=y-z, \quad 0=x+y-z.$$

Logo x=-1, z=1 e y=2. Portanto,

P(0,1,0)=(-1,2,1).

Finalmente,

(0,0,1)=x(1,0,1)+y(0,1,1)+z(1,-1,-1).

Logo

$$0=x+z, \quad 0=y-z, \quad 1=x+y-z.$$

Logo x=1, z=-1 e y=-1. Portanto,

P(0,0,1)=(1,-1,0).

A matriz de P é

$$\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1&1\\ 1 & 2 &-1\\ 1& 1 & 0 \end{array}\right).$$

Para o terceiro item observe que M+N=Id. O vetor diretor unitário na direção da reta de projeção de M é $v=(1/\sqrt{3}, -1/\sqrt{3}, -1/\sqrt{3})$. Portanto,

$$M(u)=(u\cdot v) v.$$

Logo

$$\begin{array}{ll} M(1,0,0)&= (1/3,-1/3,-1/3), \\ M(0,1,0)&=M(0,0,1)= (-1/3,1/3,1/3). \end{array}$$

Portanto,

$$M= \left( \begin{array}{ccc} 1/3 & -1/3&-1/3\\ -1/3 & 1/3 &1... ...}{ccc} 1 & -1&-1\\ -1 & 1 &1\\ -1& 1 & 1 \end{array}\right).$$

Finalmente,

$$N=Id-M, \quad N= \left( \begin{array}{ccc} 2/3 & 1/3&1/3\\ 1/3 & 2/3 &-1/3\\ 1/3& -1/3 & 2/3 \end{array}\right).$$

Para o último item observamos que a matriz de $P\circ M$ é:

$$\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1&1\\ 1 & 2 &-1\\ 1& 1 & 0 \... ...array}{ccc} 0 & 0&0\\ 0 & 0 &0\\ 0& 0& 0 \end{array}\right).$$

De fato, não é necessário fazer cáculos. Considere uma base $\{e,f,v\}$, onde v é a direção de projeção de P(e ao mesmo tempo o vetor da reta de projeção de M) e e e f são vetores paralelos ao plano de projeção de P. Temos $M(e)=\sigma v$ e $M(f)=\lambda v$. Logo

$$P\circ M(e)= \sigma P(v)=\bar 0, \quad P\circ M(f)=\lambda P(v)= \bar 0.$$

Respeito ao vetor v, M(v)=v e $P(M(v))=P(v)=\bar 0$. Como $P\circ M$ transforma os elementos da base no vetor zero, temos que $P\circ M$ é transformação linear nula.

Para calcular a matriz de $M\circ P$ escrevemos

$$\begin{array}{ll} \left( \begin{array}{ccc} 1/3 & -1/3&-1/3\\... ... & 4/3 &-2/3\\ 2/3& 4/3 & -2/3 \end{array}\right). \end{array}$$

4) Seja $\beta$ a base formada pelos vetores $\{(1,1,1),(1,0,1), (0,1,1)\}$.

4.a) Verifique que $\beta$ é uma base.

4.b) Determine as coordenadas do vetor v=(1,2,3) na base $\beta$.

4.c) Seja S a transformação linear definida por

$$S(u)=u\times (1,1,1).$$

Calcule a matriz deS.

4.d) Determine se a matriz de S é inversível e em caso afirmativo determine sua inversa.

Resposta: Para o item (a) é suficiente ver que o determinante cujas colunas são os vetores da base é não nulo:

$$\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 1& 0\\ 1& 0 &1\\ 1& 1 & 1 \end{array}\right\vert= 1(0-1)-1(1-1)+0(1-0)=-1\ne 0.$$

Para determinar as coordenadas do vetor (1,2,3) escrevemos

(1,2,3)=x(1,1,1)+y(1,0,1)+z(0,1,1).

Logo,

$$1=x+y, \quad 2=x+z, \quad 3=x+y+z.$$

Escalonando obtemos:

$$1=x+y, \quad 1=-y+z, 2=z.$$

Logo z=2, y=1 e x=0. As coordenadas do vetor na base $\beta$ são (0,1,2)

Para determinar a matriz de S observe que

$$\begin{array}{ll} S(1,0,0)&= (1,0,0)\times (1,1,1)=(0, -1,1),... ...),\\ S(0,0,1)&= (0,0,1)\times (1,1,1)=(-1, 1,0). \end{array}.$$

Logo a matriz de S é

$$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1& -1\\ -1& 0 &1\\ 1& -1 & 0 \end{array}\right).$$

Finalmente S não é inversível. Isto pode ser visto calculando o determinante da matriz de S e vendo que é zero. Mas nem é necessário fazer cálculos, os vetores S(1,0,0), S(0,1,0) e S(0,0,1) são coplanares (e portanto seu produto misto, igual ao determinante, é nulo): todos estes vetores são (por definição) ortogonais a (1,1,1), logo estão no plano x+y+z=0.