P2 de Álgebra Linear I - 2001.2

Data: Sábado, 20 de outubro de 2001.

Gabarito

1) Estude se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique cuidadosamente sua resposta. Nos casos afirmativos encontre a matriz da transformação linear envolvida.

a) Existe uma rotação R tal que R(2,1)=(1,3).

b) Existe um espelhamento ou reflexão E tal que E(1,1)=(-1,1) e E(-1,1)=(1,-1).

c) Existe uma projeção ortogonal P tal que P(1,1)=(1/2,-1/2) e P(2,1)=(1/3,2/3).

d) Existe um espelhamento ou reflexão E tal que E(1,1)=(1,1) e E(2,1)=(-2,-1).

e) Existe um espelhamento ou reflexão E tal que E(2,1)=(-1,-2).

f) Existe uma transformação linear $T\colon \mathbb{R} ^2 \to \mathbb{R} ^2$ tal que T(1,1)=(5,7), T(2,1)=(1,0) e T(3,2)=(1,2).

Resposta: $\,$

a) Falso. Uma rotação conserva módulos, |R(u)|=|u| para todo vetor u. Mas

$$\vert R(2,1)\vert=\vert(1,3)\vert=\sqrt{10}> \sqrt{5}= \vert(1,2)\vert.$$

b) Falso. Um espelhamento verifica $E^2=E\circ E= Id$. No nosso caso,

$$E^2(1,1)=E(E(1,1))=E(-1,1)=(1,-1)\ne (1,1).$$

c) Falso. Se P é uma projção ortogonal de $\mathbb{R} ^2$dado qualquer vetor u sua imagem P(u)é paralela à reta de projeção r. Da primeira condição, P(1,1)=(1/2,-1/2), obtemos que r=(t,-t), $t\in \mathbb{R}$. Da segunda condição, P(2,1)=(1/3,2/3), temos r=(t,2t), o que é absurdo.

d) Falso. A condição E(1,1)=(1,1) implica que, se E fosse um espelhamento, então a reta de projeção seria (t,t), $t\in \mathbb{R}$.

A segunda condição, E(2,1)=(-2,-1), implica que (2,1) é um vetor normal à reta de espelhamento. Mas (2,1) não é ortogonal a (1,1).

e) Verdadeiro. Da condição E(2,1)=(-1,-2) e de E(v)-v=n, n vetor normal à reta de espelhamento, obtemos

n=(-3,-3).

Logo a reta de espelhamento é (t,-t), $t\in \mathbb{R}$. Logo

$$E(1,-1)=(1,-1), \quad E(1,1)=(-1,-1).$$

Portanto,

$$E(2,0)=(0,-2), \quad E(1,0)=(0,-1).$$

Finalmente,

E(0,1) =E(1,1)-E(1,0)=(-1,-1)-(0,-1)=(-1,0).

Logo

$$[E]= \left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ -1 &0 \end{array}\right).$$

Verifique que E(2,1)=(-1,-2).

f) Falso. Como $\{(1,1), (2,1)\}$ formam uma base de $\mathbb{R} ^2$(os vetores não são paralelos) as imagens de (1,1) e (2,1) determinam T. Se T fosse linear,

$$T(3,2)=T((1,1)+(2,1))= T(1,1) + T(2,1)=(5,7)+(1,0)= (6,7)\ne (1,2).$$

2) Considere a transformação linear L, $L\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3$definida por

$$L(1,1,1)=(1,0,0), \quad L(1,0,1)=(0,0,1), \quad L(1,1,0)=(0,1,0).$$

a) Determine L(1,0,0) e L(0,0,1).

b) Determine a matriz de L.

c) Calcule L(1,2,3).

d) Estude se L é inversível.

Resposta: Observe que (1,1,1), (1,0,1) e (1,1,0)formam uma base, e portanto L está totalmente definida. Para ver que os vetores formam uma base é suficiente calcular o produto misto dos três vetores e ver que é não nulo (ou seja, que os vetores não são coplanares),

$$\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 &0 \end{array}\right\vert = 1(0-1) -1 (0 -1) + 1(1-0)=1\ne 0.$$

a) Observe que

(0,1,0)=(1,1,1)-(1,0,1).

Logo

L(0,1,0)=L(1,1,1)-L(1,0,1)=(1,0,0)-(0,0,1)=(1,0,-1).

Observe que

(1,0,0)=(1,1,0)-(0,1,0).

Logo

L(1,0,0)=L(1,1,0)-L(0,1,0)=(0,1,0)-(1,0,-1)=(-1,1,1).

Finalmente calcularemos L(0,0,1). Observe que,

(0,0,1)=(1,1,1)-(1,1,0).

Logo

L(0,0,1)=L(1,1,1)-L(1,1,0)=(1,0,0)-(0,1,0)=(1,-1,0).

b) Do item (a) e como L(0,1,0) já esta determinado (ou seja, conhecemos L(1,0,0), L(0,1,0) e L(0,0,1)) temos

$$\left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 &0 \end{array}\right).$$

c) Para calcular L(1,2,3),

$$\left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 ... ...)= \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2\\ -1 \end{array}\right).$$

d) Para ver se L é inversível calcularemos o determinante de L:

$$\left\vert \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 &... ...0 \end{array}\right\vert= (-1)(0-1) -1(0+1) +1(-1-0)=-1\ne 0.$$

Como L é inversível se, e somente se, $\det [L]\ne 0$, temos que L é inversível.

3) Considere os vetores

$$v_1=(1,1,1), \quad v_2 =(1,1,0), \quad v_3=(0,1,1).$$

a) Estude se os vetores $\{v_1,v_2,v_3\}$ formam uma base de $\mathbb{R} ^3$.

Dado um vetor w escreva

w=a v₁ +b v₂ +c v₃

e considere a transformação linear

$$T\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3, \quad T(w) =b v_2 +c v_3.$$

b) Determine T(0,1,0) e T(0,0,1)

c) Determine a matriz de T.

d) Estude se T é inversível. Caso afirmativo encontre a matriz T^-1.

e) Determine a matriz de $T^8=T\circ T \circ T\circ T \circ T\circ T \circ T \circ T$.

Resposta:

a) Para ver se os vetores formam uma base é suficiente ver se são l.i., três vetores l.i. de $\mathbb{R} ^3$ formam uma base. Para ver se são l.i. é suficiente calcular seu produto misto $v_1 \cdot (v_2\times v_3)$. Se for 0 os vetores são l.d., caso contrário são l.i.

$$v_1 \cdot (v_2\times v_3)= \left\vert \begin{array}{ccc} 1 & ... ... & 1 &1 \end{array}\right\vert= 1(1-0)-1(1-0)+1(1-0)=1\ne 0.$$

Logo os vetores são l.i. e formam uma base de $\mathbb{R} ^3$.

b) Observe que

$$\begin{array} {ll} &(1,0,0)=1(1,1,1)+ 0 (1,1,0)+ (-1)(0,1,1),\\ &(0,0,1)=1(1,1,1)+ (-1) (1,1,0)+ (0)(0,1,1). \end{array}$$

Finalmente,

(0,1,0)=x(1,1,1)+y(1,1,0)+z(0,1,1),

que leva ao sistema,

$$x+y=0,\quad x+y+z=1, \quad x+z=0.$$

Temos x=-y e z=y, logo y=1=z e x=-1. Portanto,

(0,1,0)=(-1)(1,1,1)+ (1)(1,1,0)+(1) (0,1,1),

Da definição de T temos

$$\begin{array} {ll} &T(1,0,0)= 0 (1,1,0)+ (-1)(0,1,1)=(0,-1,-1... ...),\\ &T(0,0,1)=(-1) (1,1,0)+ (0)(0,1,1)=(-1,-1,0). \end{array}$$

Isto responde ao item (b). De fato também responde ao item (c), pois calculamos T(1,0,0), T(0,1,0) e T(0,0,1).

c)

$$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & 1 &0 \end{array}\right).$$

(Para ver que esta é a matriz pedida, verifique que T(1,1,1)=0, T(1,1,0)=(1,1,0) e T(0,1,1)=(0,1,1)).

d) A transformação não é inversível pois existe $v\ne 0$, v=(1,1,1) que se transforma no vetor nulo. Outra forma é ver que o determinante vale zero:

$$\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1... ...&0 \end{array}\right\vert= 0(0-1)+ (-1)(0-1)+(-1)(-1+2)=1-1=0.$$

e) A transformação linear representa a projeção no plano paralelo a (1,1,0) e (0,1,1) que contém a origem (isto é, x-y+z=0) segundo a direção (1,1,1). Como toda projeção verifica T²=T. Temos $T^3=T\circ T^2= T\circ T= T^2=T$. E indutivamente T⁸=T.