P1 de Álgebra Linear I - 2002.1

Data: 27 de março de 2001.

Gabarito

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e ou rasuradas valerão -0.2.

1.a) Para todo par de vetores u e w de $\mathbb{R} ^3$ vale o seguinte raciocínio:

$$w\times (u\times w)=-w\times (w \times u)= (-w\times w)\times u=\bar 0\times u=\bar 0$$

Falso. Justificativa: considere os vetores w=i e u=j. Observe que $i\times (j \times i)=i\times (-k)=j\ne \bar 0$. Observe que, $i\times( j\times i) = i\times (-k)=j$, logo $j=i\times (j \times i)\ne (i\times i)\times j=\bar 0$.

1.b) Considere vetores v, y e w de $\mathbb{R} ^3$ tais que $y\cdot (v\times w)=1$. Então $w\cdot (v\times y)=1$.

Falso. Justificativa: $y\cdot (v\times w)=- y\cdot (w\times v)= w\cdot (y\times v)=-w\cdot (v\times y)$. (V. também pode interpretar em termos de troca de duas linhas em um determinante).

1.c) Considere vetores v, y e w de $\mathbb{R} ^3$ tais que $y\cdot (v\times w)=0$. Então y é ortogonal a w.

Falso. Justificativa: faça y=w, então o produto $y\cdot (v\times w)=\bar 0$, observe que o vetor $n=v\times w$ é ortogonal a w e, portanto, $w\cdot n=0$. Obviamente, os vetores y e w não são ortogonais (são iguais!).

1.d) Existem dois planos $\pi$ e $\rho$ de $\mathbb{R} ^3$ cuja interseção consiste em um único ponto.

Falso. Justificativa: Para a interseção de dois planos de $\mathbb{R} ^3$existem três possibilidades: (a) um plano (se os dois planos são iguais), (b) uma reta (se os planos não são paralelos), ou (c) o conjunto vazio (os planos são paralelos e distintos).

1.e) Considere vetores y,v e w de $\mathbb{R} ^3$ tais que $y\cdot v=0$ e $w\cdot v=0$. Então $y\cdot w=0$.

Falso. Justificativa: Considere, por exemplo, y=i, w=i+j e v=k, então, $y\cdot v=0$, $w\cdot v=0$, mas $y\cdot w=1\ne 0$.

1.f) Considere vetores w e v de $\mathbb{R} ^3$. Se $w\times v=0$então o valor absoluto de $w\cdot v$ é $\vert w\vert\, \vert v\vert$.

Verdadeiro. Justificativa: Se um dos vetores é o vetor nulo a afirmação é obvia. Suponhamos, portanto, que $\vert v\vert\ne 0\ne \vert w\vert$. Então, $\vert v\times w\vert=0=\vert v\vert\vert w\vert \sin \alpha$ (onde $\alpha$ é o ângulo formado por w e v). Logo, $\sin\alpha=0$, e $\alpha=0$ ou $\pi$. Portanto,

$$\vert w\cdot v\vert=\vert \vert w\vert\vert v\vert\cos \alpha... ...vert\pm\vert w\vert\vert v\vert\vert=\vert v\vert\vert w\vert.$$

1.g) Considere o sistema

$$a_1x+b_1y+c_1z=d_1, \quad a_2x+b_2y+c_2z=d_2, \quad a_3x+b_3y+c_3z=d_3.$$

Suponha que

$$\left\vert \begin{array}{ccc} a_1 &b_1 &c_1\\ a_2 &b_2 &c_2\\ a_3 &b_3 &c_3 \end{array}\right\vert= 0.$$

Então o sistema não admite solução.

Falso. Justificativa: Considere os planos

$$x+y+z=1, \quad x-y+z=0, \quad 2x+2z=1.$$

Este sistema tem solução (uma reta, a reta (t, 1/2,1/2-t)) e o determinante

$$\left\vert \begin{array}{ccc} 1 &1 &1\\ 1 &-1 &1\\ 2 &0 &2 \end{array}\right\vert=-2+0+2= 0.$$

1.h) Considere vetores y,v e w de $\mathbb{R} ^3$. Então

$$(y+v)\cdot (w\times v)= y\cdot (w\times v).$$

Verdadeiro. Justificativa: observe que, pelas propriedades do produto escalar,

$$\begin{array}{ll} (y+v)\cdot (w\times v)&= y\cdot (w\times v)... ...ot (w\times v)- w\times \bar 0= y\cdot (w\times v). \end{array}$$

1.i) Considere a reta r que contém o ponto P=(p₁,p₂,p₃) e é paralela ao vetor v, e a reta sque contém ao ponto Q=(q₁,q₂,q₃) e é paralela ao vetor w. Seja $\overline{PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)$. Suponha que $\overline{PQ}\cdot (v\times w)=0$. Então a distância entre as retas é zero.

Falso. Justificativa: É suficiente considerar duas retas paralelas distintas, por exemplo, r=(t,t,t) e s=(1+t, t,t). Podemos tomar v=w=(1,1,1), que é um vetor diretor das duas retas. Considere P=(0,0,0) e Q=(1,0,0), e o vetor $\overline{PQ}=(1,0,0)$. Claramente (nem é necessário fazer contas), $\overline{PQ}\cdot (v\times w)=0$(pois $v\times w=w\times w=\bar 0)$.

Itens	V	F	N
1.a		F
1.b		F
1.c		F
1.d		F
1.e		F
1.f	V
1.g		F
1.h	V
1.i		F

2) Considere a reta r definida pela interseção dos planos $\pi$ e $\rho$,

$$\pi\colon x + 2y + z = 1, \quad \rho \colon -x + y - z = 1.$$

2.a) Determine um vetor diretor da reta r.

2.b) Determine uma equação paramétrica de r.

2.c) Encontre um terceiro plano $\tau$ (diferente de $\pi$ e $\rho$) que contenha a r (isto é, $\tau \cap \pi \cap \rho$ é igual à reta r).

2.d) Determine a equação cartesiana do plano $\alpha$ que contém a reta r e o ponto (1,2,1).

2.e) Determine a equação cartesiana do plano $\beta$ perpendicular a r contendo o ponto (1,2,1).

Resposta: Resolvemos o sistema

$$x + 2y + z = 1, \quad -x + y - z = 1,$$

usando o método de escalonamento. Obtemos

$$x + 2y + z = 1, \quad 3y = 2.$$

Logo y=2/3. Susbtituindo na primeira equação, temos

x+4/3+z=1.

Escolhendo x como parâmetro, temos a equação paramétrica de r,

$$x=t, \quad y=2/3, \quad z=-1/3-t, \quad t\in \mathbb{R} .$$

Logo um vetor diretor de r é (1,0,-1)(verifique que este vetor é ortogonal aos vetores normais dos planos $\pi$ e $\rho$). Isto resolve os items (a) e (b).

Para resolver o item c, é suficiente considerar o plano y=2/3.

Para encontrar a equação do plano $\alpha$, considere os vetores v=(1,0,-1) e o vetor $w=\overline{PQ}$ determinado pelos pontos P=(0,2/3,-1/3) de r e Q=(1,2,1). Observe w=(1,4/3,4/3). Considere o vetor u=(3,4,4). Os vetores u e v são paralelos a $\alpha$, logo um vetor normal de $\alpha$ é $v\times u=(4,-7,4)$. Logo, a equação de $\alpha$ é da forma 4x-7y+4z=d, onde d é determiando pela condição $(1,2,1)\in \alpha$. Portanto, 4-14+4=-6=d. Logo,

$$\alpha\colon 4x-7y+4z=-6.$$

(Verifique que a reta r está contida neste plano, para isto é suficiente verificar que o ponto (0,2/3,-1/3) de r satisfaz a equação).

Para o item (e). Um vetor normal do plano é o vetor diretor de r, isto é, (1,0,-1). Logo $\beta$ é da forma x-z=d, onde d é determinado por $(1,2,1)\in \beta$, logo d=0 e $\beta\colon x-z=0$.

3) Considere a reta r de equação cartesiana

$$x+2y+z=4, \quad x-z=0$$

e a reta sde equações paramétricas $(1-2t, t, 1+2t), \, t\in \mathbb{R}$.

3.a) Determine uma equação paramétrica de r.

3.b) Determine a posição relativa das retas r e s(concorrentes, reversas, paralelas, iguais).

3.c) Calcule a distância entre r e s.

Resposta: Para calcular a equação paramétrica é suficiente resolver o sistema. Escalonando obtemos

$$x+2y+z=4, \quad -2y-2z=-4,$$

logo,

$$x+2y+z=4, \quad y+z=2.$$

Escolhendo z como parâmetro, y=2-t e x=4-4+2t-t=t. Logo as equações paramétricas são:

$$x=t, \quad y=2-t, \quad z=t, \quad t\in \mathbb{R} .$$

Obviamente, as retas r e s não são paralelas: seus vetores diretores são u=(1,-1,1) e v=(-2,1,2), que não são paralelos. Logo as retas são reversas ou concorrentes.

Considere o ponto $P\in r$, P=(0,2,0), e $Q\in s$, Q=(1,0,1). As retas serão reversas se $\overline{PQ}\cdot (u\times v)\ne 0$, caso contrário as retas serão concorrentes.

Observe que $\overline{PQ}=(1,-2,1)$, Temos

$$\overline{PQ}\cdot (u\times v)= \left\vert \begin{array}{ccc... ... 1 &-1 &1\\ -2 &1 &2 \end{array}\right\vert = -3-(-2)(4)-1=4.$$

Logo as retas são reversas.

Outra possibilidade de resolução é considerar o sistema

$$t=1-2s, \quad 2-t=s, \quad t=1+2s.$$

Se o sistema tiver solução as retas serão concorrentes, caso contrário serão reversas. Veja que o sistema não admite solução.

Finalmente, para calcular a distância d entre as retas usamos a fórmula

$$d= \frac{ \vert\overline{PQ}\cdot (u\times v)\vert} {\vert\vert u\times v\vert\vert}.$$

Observe que o numerador já foi calculado e é 4. O denominador é,

$$(u\times v)=n = \left\vert \begin{array}{ccc} i &j &k\\ 1 &-1 &1\\ -2 &1 &2 \end{array}\right\vert =(-3,4,-1).$$

O vetor n tem módulo $\sqrt{26}$. Logo $d=4/\sqrt{26}$.

4) Considere o plano $\pi\colon x+2y-z=1$.

4.a) Determine a equação cartesiana do plano $\rho$ paralelo a $\pi$ que contém a origem.

4.b) Calcule a distância entre $\rho$ e $\pi$.

4.c) Determine a equação cartesiana do plano $\tau$ perpendicular a $\pi$ que contém os pontos (1,0,0) e (0,0,-1).

4.d) Calcule o ponto do plano $\rho$ mais próximo do ponto (1,0,0).

4.e) Ache um ponto X no plano $\rho$ da forma (x,0,z) tal que os pontos P=(1,0,0), Q=(0,0,-1) (P,Q no plano $\pi$) determinem um triângulo retângulo cujos catetos são PQ e QX.

Resposta: Para o item (a). O plano $\rho$ tem o mesmo vetor normal de $\pi$, logo

$$\rho\colon x+2y-z=0.$$

Para resolver o item (b), calcular a distância entre $\pi$ e $\rho$ é suficiente calcular a distância da origem a $\pi$. Para isto, por exemplo, encontraremos o ponto A de interseção da reta (t,2t,-t) (a reta normal a $\pi$ contendo o ponto (0,0,0)) e o próprio plano $\pi$. O ponto de interseção ocorre quando

$$t+4t+t=1, \quad t=1/6.$$

Logo A=(1/6,2/6,-1/6). Portanto, a distância de 0 a $\pi$ é o comprimento do segmento $\overline{0A}$, que é $\sqrt{6}/6$.

No item (c), para determinar o plano $\tau$ observe que os vetores (1,2,-1) (o vetor normal a $\pi$) e (1,0,1)(o vetor determinado pelos pontos (1,0,0) e (0,0,-1)) são paralelos a $\tau$. Logo um vetor normal a $\tau$é

$$(1,2,-1)\times (1,0,1)= \left\vert \begin{array}{ccc} i &j &k\\ 1 &2 &-1\\ 1 &0 &1 \end{array}\right\vert =(2,-2,-2).$$

Logo (1,-1,-1) é um vetor normal a $\tau$. Portanto, $\tau$ é da forma x-y-z=d, onde d é determinado por (1,0,0) pertencer a $\tau$. Logo d=1, e a equação cartesiana de $\tau$ é x-y-z=1.

Para o item (d), observe que o ponto de $\rho$ mais próximo de (1,0,0)é obtido como a interseção da reta $(1+t,2t,-t), \, t\in \mathbb{R}$, (a reta perpendicular a $\rho$ contendo B=(1,0,0)) e o plano $\rho$. Esta interseção ocorre quando

$$1+t+4t+t=0, \quad t=-1/6.$$

Logo o ponto é A=(5/6,-2/6,1/6). (Observe que o vetor $\overline{AB}=(1/6,2/6,-1/6)$é perpendicular a $\rho$).

Para o último item, considere o vetor $\overline{QP}=(1,0,1)$. Observe que, necessariamente, o vértice X está no plano perpendicular a (1,0,1) que contém Q=(0,0,-1). Este plano tem equação cartesiana

x+z=-1.

Logo o vértice é qualquer ponto da forma (x,0,-1-x).