P2 de Álgebra Linear I - 2002.1

Data: 4 de maio de 2002.

to to 0.7Nome:  Matrícula: to to 0.7Assinatura: Turma:

Questão	Valor	Nota	Revis.
1	2.5
2	1.0
3a	0.5
3b	1.0
3c	1.0
3d	1.0
4a	0.5
4b	1.0
4c	1.0
4d	0.5
Total	10.0

Instruções:

• Não é permitido usar calculadora. Mantenha o celular desligado.

• É proibido desgrampear a prova. Prova com folhas faltando ou rasuradas terá nota zero.

• Nas questões 2, 3 e 4 justifique cuidadosamente todas as respostas de forma completa, ordenada e coerente. Escreva de forma clara e legível.
• Nas questões 2, 3 e 4 da prova não haverá pontuação menor que 0.5 - Verifique cuidadosamente suas respostas.
• Faça a prova na sua turma.

Marque no quadro as respostas da primeira questão. Não é necessário justificar esta questão.

ATENÇÃ0: resposta errada vale ponto negativo!, a questão pode ter nota negativa!

Para uso exclusivo do professor	*****	*****
Certas:	$\times$ 0.3
Erradas:	$\times$ -0.2
*****	Total

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e ou rasuradas valerão -0.2.

Itens	V	F	N
1.a
1.b
1.c
1.d
1.e
1.f
1.g
1.h
1.i

1.a) Seja P uma transformação linear de $\mathbb{R} ^2$ tal que $P^2=P\circ P=P$, então P é uma projeção ortogonal.

1.b) Considere vetores v, y e w de $\mathbb{R} ^3$linearmente dependentes. Então existem números reais $\sigma$ e $\lambda$tais que $v=\sigma y +\lambda w$.

1.c) Seja $P\colon \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R} ^3$ uma projeção ortogonal em um plano e $E\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3$ um espelhamento em um plano. Então $E\circ P\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^3$ é uma projeção ortogonal.

1.d) Sejam $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$ três planos de $\mathbb{R} ^3$contendo a origem e P₁, P₂ e P₃ as respetivas projeções ortogonais nestes planos. Suponha que $P_3\circ P_2\circ P_1$ é a transformação linear nula. Então os planos se interceptam em um ponto.

1.e) Dada uma base $\beta=\{u,v,w\}$ de $\mathbb{R} ^3$ considere a nova base $\gamma=\{u+v+w,u+v,u+w\}$ de $\mathbb{R} ^3$. Considere o vetor h cujas coordenadas na base $\beta$ são (1,1,1). Então as coodenadas de h na base $\gamma$ são (1/3,2/3,1/3).

1.f) A matriz

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &a\\ 1 & 1 &2\\ 1 &1&1 \end{array}\right)$$

é sempre inversível (independentemente do valor de a).

1.g) Seja A uma matriz $2\times 2$ inversível. Suponha que A²=2 A. Então $\det A=2$.

1.h) Existe uma projeção ortogonal $P\colon \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R} ^3$tal que P(1,1,2)=(0,1,1).

1.i) Existe uma transformação linear $T\colon \mathbb{R} ^3\to \mathbb{R} ^2$tal que T(1,0,0)=(1,1), T(1,1,0)=(1,1), T(1,1,1)=(1,1).

2) Determine quais das matrizes

2.a)

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 &1\\ 1 & 1 &1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right),$$

2.b)

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1\\ 2 & -1 \end{array}\right),$$

representam uma projeção (ortogonal ou não) ou um espelhamento.

• No caso das projeções determine se são ou não ortogonais. No caso de projeções ortogonais, determine a reta ou o plano de projeção, e no caso não ortogonal a direção (reta ou plano) de projeção e o plano ou reta de projeção.
• No caso dos espelhamentos determine a reta ou o plano de espelhamento.

3) Considere a projeção Pno plano $\pi\colon x+y-z=0$ na direção do vetor (1,-1,-1).

3.a) Seja u=(4,-1,1)=(2,-2,-2)+(2,1,3)(onde $(2,1,3)\in \pi$). Sem determinar a matriz de P, calcule P(u).

3.b) Determine a matriz de P.

3.c) Sejam M a projeção ortogonal na reta (t,-t,-t) e N a projeção ortogonal no plano $\pi\colon x-y-z=0$. Determine as matrizes de M e N.

3.d) Determine as matrizes de $P\circ M$ e $M\circ P$.

4) Seja $\beta$ a base formada pelos vetores $\{(1,1,1),(1,0,1), (0,1,1)\}$.

4.a) Verifique que $\beta$ é uma base.

4.b) Determine as coordenadas do vetor v=(1,2,3) na base $\beta$.

4.c) Seja S a transformação linear definida por

$$S(u)=u\times (1,1,1).$$

Calcule a matriz deS.

4.d) Determine se a matriz de S é inversível e em caso afirmativo determine sua inversa.