P1 de Álgebra Linear I - 2002.2

Data: 6 de setembro de 2002.

to to 0.7Nome:  Matrícula: to to 0.7Assinatura: Turma:

Questão	Valor	Nota	Revis.
1	2.5
2a	0.5
2b	0.5
2c	0.5
2d	0.5
2e	0.5
2f	0.5
3a	0.5
3b	0.5
3c	1.0
3d	0.5
3e	0.5
4a	1.0
4b	1.0
Total	10.5

Instruções:

• Não é permitido usar calculadora. Mantenha o celular desligado. Escreva de forma clara e legível.

• É proibido desgrampear a prova. Prova com folhas faltando ou rasuradas terá nota zero.

• Nas questões 2, 3 e 4 justifique cuidadosamente todas as respostas de forma completa, ordenada e coerente.
• Nas questões 2, 3 e 4 da prova não haverá pontuação menor que 0.5 - Verifique cuidadosamente suas respostas.
• Faça a prova na sua turma.

Marque no quadro as respostas da primeira questão. Não é necessário justificar esta questão.

ATENÇÃ0: resposta errada vale ponto negativo!, a questão pode ter nota negativa!

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e ou rasuradas valerão -0.2.

Itens	V	F	N
1.a
1.b
1.c
1.d
1.e
1.f
1.g
1.h
1.i

1.a) Considere vetores não nulos u₁, u₂ e u₃ de $\mathbb{R} ^3$ tais que

Então os vetores u₂ e u₃ são paralelos.

1.b) Considere os vetores (1,1,1) e (a,-1,a). Suponha que

Então a=-1.

1.c) Veja a Figura 1. Suponha que

onde $\alpha$ é o ângulo entre os vetores u e w. O vetor m é o produto vetorial dos vetores w e u, isto é, $m=w\times u$.

 

Figure: Questão 1.c

uu ww mm

1.d) Existe um único plano de $\mathbb{R} ^3$ que contém às retas

1.e) Considere vetores w e v de $\mathbb{R} ^3$. Se $w\times v=\bar 0$então $w\cdot v=\vert w\vert\, \vert v\vert$.

1.f) Considere os planos de equações cartesianas

Suponha que

Então os planos $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$se interceptam ao longo de uma reta.

1.g) Veja se o seguinte raciocínio é correto. Sejam u e vvetores de $\mathbb{R} ^3$ tais que

Então $v=\bar 0$.

1.h) Considere os vetores u, w e k na Figura 2. Suponha que $u\cdot w=0$ e que as circunferências centradas na origem têm raio 1 e 2. Então $u\cdot k<0$.

1.i) Considere os vetores u, w e m na Figura 2. Suponha que $u\cdot w=0$ e que as circunferências centradas na origem têm raios 1 e 2 respectivamente. Então $u\cdot m>4$.

 

Figure: Questões 1.h e 1.i

uu ww -w-w kk mm

2) Considere a reta r de equações paramétricas

e o ponto Q=(1,0,0).

2.a) Determine a equação cartesiana do plano $\pi$ ortogonal a r contendo o ponto Q.

2.b) Determine as equações paramétricas do plano $\pi$.

2.c) Determine as equações cartesianas da reta r.

2.d) Calcule a distância entre o ponto Q e a reta r.

2.e) Determine o ponto A da reta r mais próximo de Q.

2.f) Determine, se possível, um ponto da reta r a distância 2 de Q.

3) Considere os pontos A=(1,4,2) e B=(0,2,-2).

3.a) Determine o ponto médio do segmento de extremos A=(1,4,2) e B=(0,2,-2).

3.b) Encontre a equação do plano $\pi$ cujos pontos são todos equidistantes de A=(1,4,2) e B=(0,2,-2).

Considere agora o ponto C=(1,1,1).

3.c) Determine todos os possíveis paralelogramos de vértices A, B e C (isto é, determine as diferentes possibilidades para o quarto vértice).

3.d) Determine a área dos paralelogramos do item anterior.

4) Considere as retas

4.a) Determine a posição relativa (iguais, paralelas, concorrentes, reversas) das retas r₁ e r₂.

4.b) Caso r₁ e r₂ sejam concorrentes ou paralelas, escreva a equação cartesiana do plano que contém essas duas retas. Caso contrário, calcule a distância entre r₁ e r₂. (Atenção: não deixe de justificar sua escolha!)