P1 de Álgebra Linear I - 2002.2

Data: 6 de setembro de 2002.

1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque com caneta sua resposta no quadro abaixo. Atenção: responda todos os itens, use "N = não sei" caso você não saiba a resposta. Cada resposta certa vale 0.3, cada resposta errada vale -0.2, cada resposta N vale 0. Respostas confusas e ou rasuradas valerão -0.2.

Itens	V	F	N
1.a		F
1.b	V
1.c		F
1.d	V
1.e		F
1.f		F
1.g		F
1.h	V
1.i		F

1.a) Considere vetores não nulos u₁, u₂ e u₃ de $\mathbb{R} ^3$ tais que

Então os vetores u₂ e u₃ são paralelos.

Falso. É suficiente considerar os vetores u₁=i, u₂=j e u₃=k. Observe que $i\cdot j =0= i\cdot k.$Mas os vetores j e k não são paralelos.

1.b) Considere os vetores (1,1,1) e (a,-1,a). Suponha que

Então a=-1.

Verdadeiro. O vetor (a,-1,a) deve ser paralelo a (1,1,1). Logo, $(a,-1,a)=\lambda \, (1,1,1)$. Ou seja $\lambda =-1$. Outra resolução, veja que

Logo, se $(a,-1,a)\times (1,1,1)=(0,0,0)$. Portanto, necessariamente, a=-1

1.c) Veja a Figura 1. Suponha que

onde $\alpha$ é o ângulo entre os vetores u e w. O vetor m é o produto vetorial dos vetores w e u, isto é, $m=w\times u$.

 

Figure: Questão 1.c

uu ww mm

Falso. O módulo do vetor m está correto, mas o sentido está errado, não obedece a lei da mão direita (deveria apontar no sentido contrário)

1.d) Existe um único plano de $\mathbb{R} ^3$ que contém às retas

Verdadeiro. As retas são paralelas (têm o mesmo vetor diretor (1,1,1)) e distintas (por exemplo, o ponto (1,2,3) da segunda reta não pertence à primeira). Portanto, existe um único plano $\pi$ contendo as duas retas.

De fato, a equação cartesiana de plano $\pi$contendo as duas retas é obtida como segue. Os vetores (1,1,1) (vetor diretor das retas) e (0,1,2)(o vetor determinado pelos pontos (1,1,1) e (1,2,3) das retas) são paralelos ao plano Portanto, um vetor normal do plano é

Logo,

onde d=0 (pois (1,1,1) pertence à reta).

1.e) Considere vetores w e v de $\mathbb{R} ^3$. Se $w\times v=\bar 0$então $w\cdot v=\vert w\vert\, \vert v\vert$.

Falso. De $w\times v=\bar 0$obtemos apenas que os vetores são paralelos, mas não seu ângulo (que pode ser $\pi$ ou 0). Por exemplo, os vetores (1,0,0) e (-1,0,0) verificam $(1,0,0)\times (-1,0,0)=\bar 0$, mas $(1,0,0)\cdot(-1,0,0)=-1\ne 1$.

1.f) Considere os planos de equações cartesianas

Suponha que

Então os planos $\pi_1$, $\pi_2$ e $\pi_3$se interceptam ao longo de uma reta.

Falso. Os planos poderiam ser paralelos e diferentes, por exemplo,

Outra possibilidade, os planos poderiam se intersetar em retas dois a dois paralelas. Por exemplo,

Existem ainda outras possibilidades que omitiremos (por exemplo, dois planos paralelos entre si interceptando o terceiro ao longo de duas retas paralelas).

1.g) Veja se o seguinte raciocínio é correto. Sejam u e vvetores de $\mathbb{R} ^3$ tais que

Então $v=\bar 0$.

Falso: Do raciocínio somente podemos concluir que u e v são ortogonais (pois $u\cdot v=0$). Por exemplo, os vetores u=i e v=k verificam a igualdade acima e $k\ne \bar 0$.

1.h) Considere os vetores u, w e k na Figura 2. Suponha que $u\cdot w=0$ e que as circunferências centradas na origem têm raios 1 e 2. Então $u\cdot k<0$.

Verdadeiro: Temos $u\cdot k=\vert u\vert\,\vert k\vert\, \cos \alpha$, onde $\alpha \in (\pi/2,\pi)$ é o ângulo formado por u e k(isto decorre do fato de w ser ortogonal a u). Logo, $\cos \alpha<0$, e, como |u|>1<|k|, a afirmação é verdadeira.

1.i) Considere os vetores u, w e m na Figura 2. Suponha que $u\cdot w=0$ e que as circunferências centradas na origem têm raios 1 e 2. Então $u\cdot m>4$.

Falso: Temos $u\cdot m=\vert u\vert\,\vert m\vert\,\cos \alpha$, onde $\alpha$ é o ângulo formado por u e m. Logo

 

Figure: Questões 1.h e 1.i

uu ww -w-w kk mm

2) Considere a reta r de equações paramétricas

e o ponto Q=(1,0,0).

2.a) Determine a equação cartesiana do plano $\pi$ ortogonal a r contendo o ponto Q.

2.b) Determine as equações paramétricas do plano $\pi$.

2.c) Determine as equações cartesianas da reta r.

2.d) Calcule a distância entre o ponto Q e a reta r.

2.e) Determine o ponto A da reta r mais próximo de Q.

2.f) Determine, se possível, um ponto da reta r a distância 2 de Q.

Resposta: Para o item (a). O vetor normal do plano $\pi$ é o vetor diretor da reta, ou seja, (2,1,-1). Logo a equação cartesiana do plano é da forma,

onde d é determinado pela condição, $Q=(1,0,0)\in \pi$. Isto é, 2(1)+0-0=d.Logo,

Item (b). Para determinar as equações paramétricas do plano devemos conhecer um ponto do plano (já temos o ponto Q) e dois vetores paralelos ao plano (não paralelos entre si). Podemos escolher vetores ortogonais ao vetor normal ao plano. Por exemplo, (0,1,1) e (1,0,2) (verifique que $(2,1,-1)\cdot (0,1,1)=0=(2,1,-1)\cdot (1,0,2)$). Logo, uma equação paramétrica do plano é

Item (c). Para determinar as equações cartesianas de r é suficiente encontrar dois planos não paralelos entre si contendo à reta r. O vetor normal destes planos deve ser ortogonal ao vetor diretor (2,1-1) de r. Podemos escolher os vetores (0,1,1) e (1,0,2) do item anterior. Logo os planos são da forma

Onde d e e são obtidos pela condição do ponto P=(1,1,0) da reta pertencer aos dois planos. Temos,

Altermativamente, podemos resolver a equação paramétrica da reta por (eliminando) t.

$$t=\frac{x-1}{2}=y-1=-z, \quad x-2y=1 , \quad y+z=1.$$

Isto fornece as equações dos planos. Observe que igualando a primeira e a terceira equações obtemos x+2z=1.

Item (d). Para calcular a distância d de Q a r consideraremos o ponto P=(1,1,0) da reta e usaremos a fórmula

$$\vert\overline{PQ}\times (2,1,-1)\vert =\mbox{\'area(Paralelogramo)} =\mbox{Base}\cdot \mbox{(h)altura},$$

onde a base é $\vert(2,1,-1)\vert=\sqrt{6}$ e a altura é a distância d. Veja a figura.

vv PP QQ hh rr BaseBase ParaParalelogramo

Portanto,

$$d=\frac{\vert(0,-1,0)\times (2,1,-1)\vert}{\sqrt{6}}= \frac{\vert(1,0,2)\vert}{\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.$$

Item (e). Observe que o ponto A de r mais próximo de Qé obtido como a interseção do plano $\pi$ ortogonal a r contendo Q (lembre o primeiro item do exercício) e r. Ou seja, a interseção de 2x+y-z=2 e (1+2t,1+t,-t). Devemos resolver

Logo A=(4/6,5/6,1/6).

Vamos conferir que a distância entre Q=(1,0,0) e A é a obtida no item anterior.

$$\vert\overline{QA}\vert=\vert(2/6,5/6, 1/6)\vert=\sqrt{30/36}=\sqrt{5}/\sqrt{6}.$$

Veja também que o vetor $\overline{QA}$ é ortogonal à reta.

Finalmente, para o item (f), calculo de um ponto de r a distância 2 de Q, devemos considerar a interseção da esfera de raio 2 centrada em Q (o lugar geométrico dos pontos a distância 2 de Q) e a reta r. Ou seja,

Ou seja,

As soluções são,

$$t=\frac{-2\pm\sqrt{4+72}}{12}= \frac{-1\pm \sqrt{19}}{6}.$$

Ou seja obtemos dois pontos (dependendo do parâmetro t escolhido).

$$\begin{array}{ll} &(1 - (-1+ \sqrt{19})/3, 1+ (-1+ \sqrt{19})... ...t{19})/3,1+ (-1- \sqrt{19})/6, (-1+ \sqrt{19})/6). \end{array}$$

3) Considere os pontos A=(1,4,2) e B=(0,2,-2).

3.a) Determine o ponto médio do segmento de extremos A=(1,4,2) e B=(0,2,-2).

3.b) Encontre a equação do plano $\pi$ cujos pontos são todos equidistantes de A=(1,4,2) e B=(0,2,-2).

Considere agora o ponto C=(1,1,1).

3.c) Determine todos os possíveis paralelogramos de vértices A, B e C (isto é, determine as diferentes possibilidades para o quarto vértice).

3.d) Determine a área dos paralelogramos do item anterior.

Resposta: Para responder o item (a), observe que ponto médio do segmento $\overline{AB}$ é

$$(\frac{1+0}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{2+(-2)}{2})= (1/2,3,0).$$

Item (b). O vetor normal do plano $\pi$ é (1,2,4) (o plano é ortogonal ao vetor $\overline{BA}=(1,2,4)$). Um ponto do plano $\pi$é o ponto médio do segmento AB, (1/2,3,0). Logo a equação do plano é

2x+4y +8z=13.

AA BB CC DD

Na figura se encontram os três possíveis paralelogramos (correspondentes aos casos: AB e AC são lados, AC não é lado, e AB não é lado). Nos diferentes casos temos

$$\begin{array}{ll} D=&(1,4,2)+(-1,-2,-4)+(0,-3,-1)=(0,-1,-3),\... ...e{BC} =(1,4,2)+(-1,-2,-4)-(0,-3,-1)=\\ &=(0,5,-1). \end{array}$$

Em todos os casos, a área do paralelogramo é

$$\vert\overline{AC}\times\overline{AB}\vert=\vert(0,3,1)\times (-1,-2,-4)\vert=\vert(10,1,-3)\vert.$$

Logo a área é $\sqrt{110}$.

4) Considere as retas

4.a) Determine a posição relativa (iguais, paralelas, concorrentes, reversas) das retas r₁ e r₂.

4.b) Caso r₁ e r₂ sejam concorrentes ou paralelas, escreva a equação cartesiana do plano que contém essas duas retas. Caso contrário, calcule a distância entre r₁ e r₂. (Atenção: não deixe de justificar sua escolha!)

Resposta: Primeiro veremos se as retas são concorrentes ou não. Considere os pontos $P=(2,0,0)\in r_1$, $Q=(1,-1,0)\in r_2$e os vetores $\overline{QP}=(1,1,0)$, v=(1,0,-1) (o vetor diretor de r₁) e u=(1,2,1) (o vetor diretor de r₂).

Observe que as retas não são paralelas (pois os vetores diretores não são paralelos).

As retas serão concorrentes se

$$\overline{QP}\cdot (v\times u)=0$$

e reversas em caso contrário.

Temos

e

Portanto, as retas são concorrentes.

Outra forma de conferir que as retas são concorrentes é resolvendo (ou tentando resolver) o sistema:

Das duas últimas equações obtemos,

Estas condições são compatíveis com a primeira equação. Assim obtemos que o ponto de interseção é

P=(3/2,0,1/2).

Para calcular a equação do plano $\pi$contendo as duas retas observe que já calculamos sue vetor normal: (1,-1,1). Logo o plano é da forma

Usando que $P=(3/2,0,1/2)\in \pi$, temos d=2,