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P2 de Álgebra Linear I - 2001.1

Data: 16 de maio de 2001.

Gabarito

1) Considere os vetores

$\begin{displaymath}u_1=(1,1,1), \quad u_2=(1,1,0), \quad u_3=(3,3,2), \quad u_4=(2,2,2) \end{displaymath}$

e o subespaço vetorial V gerado por u₁, u₂, u₃e u₄.

: a) Determine uma base $\beta$ de V.
: b) Determine uma base ortogonal $\beta^\prime$ de V.
: c) Determine uma base ortogonal $\beta^{\prime \prime}$ de $\mathbb{R} ^3$ que contenha $\beta^\prime$ .
: d) Veja se (2,2,4) pertence a V.
: e) Escreva o vetor (5,5,3) como combinação linear dos vetores da base $\beta$ .

Resposta:

Como os vetores u₁ e u₂ não são paralelos (proporcionais) eles são linearmente independentes.

O vetor u₃ é combinação linear de u₁ e u₂. Isto pode ser verificado de duas formas. Veja que o determinante com linhas as coordenadas dos vetores u₁, u₂ e u₃ é nulo. Ou escreva

$\begin{displaymath}u_3= x\, u_1 + y\, u_2. \end{displaymath}$

Temos

$\begin{displaymath}3=x+y,\quad 3=x+y, \quad 2=x. \end{displaymath}$

Logo a solução é $u_3= 2\, u_1 +u_2$ .

Obviamente o vetor u₄ é combinação linear de u₁ e u₂( $u_4=2\,u_1 +0\, u_2$ ).

Portanto, uma base é $\beta=\{u_1,u_2\}$ .

Para determinar $\beta^\prime$ determinamos a equação cartesiana de V. Como V é um plano e seu vetor normal é $u_1\times u_2= (-1,1,0)$ a equação cartesiana é x-y=0. Por exemplo, (0,0,1) e (1,1,0) formam uma base ortogonal de V.

A base $\beta^{\prime \prime}$ já esta determinada (é suficiente acrescentar o vetor normal do plano à base $\beta^\prime$ ) $\{(0,0,1),(1,1,0), (1,-1,0)\}$ .

Como 2-2=0, o vetor (2,2,4) verifica a equação cartesiana de V, logo está em V.

Fazemos,

$\begin{displaymath}(5,5,3)= x\, u_1 + y\, u_2. \end{displaymath}$

Temos

$\begin{displaymath}5=x+y,\quad 5=x+y, \quad 3=x. \end{displaymath}$

Logo x=3 e y=2, isto é, $(5,5,3)=3\, (1,1,1)+2(1,1,0)$ .

2) Considere as transformações lineares

$\begin{displaymath}T(x,y)=(x+3y, 2x +4y), \quad S(x,y)=(5x+7y, 6x +8y). \end{displaymath}$

Determine explicitamente as matrizes das transformações lineares T, S, $T\circ S$ e $S\circ T$ .

Resposta: Temos T(1,0)=(1,2), T(0,1)=(3,4), S(1,0)=(5,6)e S(0,1)=(7,8). Logo

$\begin{displaymath}[T]= \left( \begin{array}{cc} 1 &3\\ 2 &4 \end{array}\right)... ...[S]= \left( \begin{array}{cc} 5 &7\\ 6 &8 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Para calcular os produtos,

$\begin{displaymath}[T\circ S] = \left( \begin{array}{cc} 1 &3\\ 2 &4 \end{array... ...ft( \begin{array}{cc} 23 & 31 \\ 34& 46 \end{array}\right). \end{displaymath}$

De forma análoga temos,

$\begin{displaymath}[S\circ T] = \left( \begin{array}{cc} 5 &7\\ 6 &8 \end{array... ... \left( \begin{array}{cc} 19 &43\\ 22 &50 \end{array}\right). \end{displaymath}$

3) Considere a transformação linear $T\colon \mathbb{R} ^2 \to \mathbb{R} ^2$ definida como a projeção ortogonal na reta $r\colon \{(t,3t), \, t\in \mathbb{R}\}$ .

: a) Determine a matriz de T.
: b) Calcule T(1,3) e T(-3,1).

Resposta: Temos que $n=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$ é um vetor normal unitário da reta de projeção. Logo

$\begin{displaymath}T(v)= (v\cdot n) \, n. \end{displaymath}$

Portanto,

$\begin{displaymath}T(1,0)=\frac{1}{10}(1,3), \quad T(0,1)=\frac{3}{10}(1,3). \end{displaymath}$

Logo

$\begin{displaymath}[T]= \left( \begin{array}{cc} 1/10 &3/10\\ 3/10 &9/10 \end{array}\right). \end{displaymath}$

Finalmente, para calcular T(1,3) e T(-3,1) temos duas possibilidades, ou aplicamos a matriz ou vemos que, como (1,3) é o vetor diretor da reta onde projetamos, então T(1,3)=(1,3), e que, como (-3,1) é o vetor normal da reta, temos T(-3,1)=(0,0).

4) Considere o vetor $v_0=(1,1,1)\in \mathbb{R} ^3$ e defina a transformação linear

$\begin{displaymath}T\colon \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R} ^3, \quad T(v)=v\times v_0. \end{displaymath}$

: a) Determine o conjunto dos vetores v tais que T(v)=0.
: b) Estude se existe algum vetor v tal que T(v)=v₀.
: c) Estude se existe algum vetor v tal que T(v)=v.
: d) Determine a forma geral de T e sua matriz [T].
: e) É T inversível?

Resposta: 0 conjunto dos vetores v tais que T(v)=0são os vetores paralelos a v₀. Ou seja os vetores da forma (t,t,t), $t\in \mathbb{R}$ .

Não existe nenhum vetor v tal que T(v)=v₀, pois T(v) é sempre ortogonal a v₀.

Não existe nenhum vetor não nulo v tal que T(v)=v, pois T(v) é sempre ortogonal a v. Obviamente, o caso trivial trivial v=0 verifica T(v)=0. Temos

$\begin{displaymath}T(1,0,0)=(0,-1,1), \quad T(0,1,0)=(1,0,-1), \quad T(0,0,1)=(-1,1,0). \end{displaymath}$

Logo

$\begin{displaymath}[T]= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 &1\\ -1 & 0 &-1\\ 1 & -1 &0 \end{array}\right), \quad T(x,y,z)=(y+z,-x-z,x-y). \end{displaymath}$

A matriz T não é inversível. Isto pode ser visto de duas formas diferentes. Ou calculando seu determinante e vendo que é zero. Ou vendo que T não é injetiva ( T(1,1,1)=T(0,0,0)=(0,0,0)), e portanto não tem inversa.

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Lorenzo J. Diaz
2001-05-21