Re: Dvida

["Jos� Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Diante desta brilhante resposta do Nicolau a questao se
"infinito + 1 = infinito?", tive uma certa sensacao de orgulho.
Totalmente injustificada, alias, porque nem sequer fui professor
do Nicolau. Talvez porque o tenha conhecido bem garotinho,
respondendo aos desafios intelectuais propostos por seu avo
(foi um grande amigo meu, e um dos melhores papos que conheci).
Os meninos desta lista talvez nao saibam a oportunidade que
estao tendo de desfrutar do conhecimento e da sabedoria
de um grande matematico brasileiro que, em vez de permanecer
encastelado em sua torre de sapiencia (o que seria direito seu),
vem repartir conosco sua cultura cientifica. Alias, este tipo de
generosidade eh a essencia da vocaco de professor.
Desculpe, Nicolau, mas a medida que a gente vai ficando velho,
vai ficando meio bobo.
Jose Paulo


-----Mensagem original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
Para: obm-rj@mat.puc-rio.br <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 27 de Junho de 1999 23:07
Assunto: Re: Dvida


>On 26 Jun 1999, Cristian Flores Silva wrote:
>
>>  Algu�m poderia me dizer se:
>>
>>  infinito + 1 > infinito
>
>Esta quest�o, como v�rias outras que j� apareceram nesta lista,
>� quest�o de defini��o (ou seja, de gosto, conveni�ncia, utilidade...).
>Mas ao contr�rio da maioria destas outras perguntas (se 0 � natural,
>se 1 � primo, se 0,9999999999999... = 1) esta admite v�rias respostas
>diferentes, cada uma delas usual em uma �rea diferente da matem�tica.
>Usarei inft para o sinal usual de infinito.
>
>Em c�lculo � conveniente considerar o conjunto
>[- inft, + inft] = R U {-inft, +inft}.
>A conveni�ncia vem de que neste conjunto v�rias propriedades de R se
>tornam mais simples, por exemplo: toda seq��ncia mon�tona tem limite,
>todo conjunto tem supremo, toda seq tem um lim inf e um lim sup e ela
>converge sse estes dois valores s�o iguais,...
>Neste conjunto definimos as opera��es de + e * e as fun��es elementares
>passando ao limite: assim +inft + a = +inft para qualquer real a
>mas (+inft) + (-inft) n�o est� definido. Em particular +inft + 1 = +inft.
>
>Em teoria dos conjuntos definimos n�meros cardinais: dois conjuntos A e
>B t�m o mesmo cardinal sse existe uma bije��o entre A e B; o cardinal de A
>� menor ou igual ao cardinal de B sse existe uma fun��o injetora de A em
>B. Assim, demonstra-se que os cardinais de N, Z e Q s�o todos iguais
>entre si, que os cardinais de R e C tamb�m s�o iguais entre si, mas que o
>cardinal de N � estritamente menor que o cardinal de R. Existem assim
>muitos cardinais infinitos diferentes. Se denotarmos o cardinal de um
>conjunto A por |A|, definimos |A| + |B| = |A U B| se A e B forem disjuntos
>e |A| * |B| = |A x B| (produto cartesiano); demonstra-se entretanto que se
>|A| e |B| s�o infinitos com |A| <= |B| ent�o |A| + |B| = |A| * |B| = |B|,
>o que significa que estas opera��es com cardinais n�o s�o muito
>interessantes. Se o inft na pergunta for interpretado como um cardinal
>infinito ent�o inft + 1 = inft.
>
>Por outro lado define-se em teoria de conjuntos o conceito de n�mero
>ordinal: um ordinal � um conjunto transitivo totalmente ordenado pela
>rela��o de pertence (Z � transitivo sse sempre que X pertence a Y e
>Y pertence a Z temos X pertence a Z). As opera��es + e * s�o definidas
>sobre os ordinais da mesma forma que sobre os naturais, exceto que devemos
>usar uma outra forma de indu��o, chamada indu��o transfinita. Para
>responder a pergunto inicial, basta notar que definimos a + 1 = a U {a}
>para qualquer ordinal a (isto � o ponto de partida da indu��o). Se o a=inft
>na pergunta for interpretado como um ordinal ent�o, de acordo com esta
>defini��o, � claro que a + 1 > a. Por outro lado temos 1 + a = a para
>qualquer ordinal infinito a (isto mesmo: a adi��o de ordinais n�o �
>comutativa).
>
>J� mencionei em outro e-mail os n�meros surreais de Conway: n�o vou
>repetir o que eu falei em outra ocasi�o mas estes n�meros satisfazem
>propriedades alg�bricas muito parecidas com a dos reais. Em particular,
>a + 1 > a para qualquer surreal a. Assim, se o a=inft na pergunta for
>interpretado como um n�mero surreal ent�o a + 1 = 1 + a > a. Uma situa��o
>um pouco parecida onde aparecem infinitos � em an�lise n�o-standard:
>aqui novamente a + 1 > a para todo a, finito ou infinito.
>
>Como voc� v�, a resposta para sua pergunta depende de exatamente que tipo
>de infinito voc� tem em mente...
>
>[]s, N.
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau
>