Paradoxo de Richard

[Paulo Santa Rita <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ol� Bruno, !

G�del admite explicitamente que a sua argumenta��o � modelada por uma das 
mais conhecidas antinomias logicas, o paradoxo de Richard. Este paradoxo,  
proposto pelo matem�tico Jules Richard em 1905, pode ser enunciado como 
segue:

1) imagine que todas as propriedades dos numeros cardinais s�o enunciadas 
num idioma qualquer.( ex portugues )
2) Ordene estas propriedades da menos extensa (com menos letras, ) para a 
mais extensas ( com mais letras)
3) Se duas ou mais propriedades tem a mesma extens�o, adote a classifica��o 
alfabetica

Assim, fica associado um n�meor a cada propriedade. Se o numero associado a 
uma determinada propriedade tiver ele mesmo esta propriedade, dizemos que o 
n�mero � "N�o  Richardiano"; se o n�mero associado a uma determindade 
propriedade n�o tiver ele mesmo esta propriedade, dizemos que o n�mero "� 
Richardiano" .

Ex: Suponhamos, por exemplo, que "N�o ser divisivel por nenhum n�mero  a n�o 
ser por si mesmo e pela unidade" seja a 17 propriedade. Como 17 �, ele 
mesmo, primo, dizemos que 17 n�o � Richardiano. Se, porem, 17 estivesse 
associado a propriedade "ser divis�vel por 5" e, claramente, 17 n�o � 
divisivel por 5, ent�o 17 seria Richardiano.

Aqui entra o fundamental. A propriedade "ser richardiano" pode ser associado 
a todo n�mero, vale dizer, ou um numero � richardiano ou n�o richardiano. 
Assim, a propriedade pertence a lista que construimos com os passos 1), 2), 
3). Seja N o numero associado a esta propriedade.  Pergunda : N � 
Richardiano ? Claramente, N ser� richardiano se, e somente se,  N tem a 
propriedade de ser Richardiano !!!!!!!!!!!

Este paradoxo, como muitos outros paradoxos l�gicos, � em verdade um 
engodo... Uma hipotese implicita em nosso raciocinio � que enumerariamos 
"propriedades aritmeticas". Ser Richardiano n�o � uma propriedade 
aritm�tica, mas meta-aritmetica, por falar sobre propriedades e n�o numeros 
e suas rela��es, da� o paradoxo.

O que Godel percebeu foi que se pudesse evitar o embuste implicito no 
paradoxo de Richard ele poderia falar de propriedades de numeros usando 
n�meros.  E ent�o tudo ficaria muito mais f�cil. Nisso consistiu sua id�ia 
b�sica. O que acima aparece como "N � Richardiano ou n�o", na prova de Godel 
surgira como "A aritm�tica � consistente".

A outra parte do trabalho de Godel n�o foi genial, foi apenas inteligente e 
dependente de cultura, vale dizer, ele conseguiu formular um mapeamente das 
propriedades aritmeticas que escapa ao embuste intrinseco ao paradoxo 
richardiano. O resto � facil.

� importante assinalar que muitas pessoas tem uma vis�o errada do que Godel 
realmente provou.  Ele n�o provou, a principio, que a consistencia da 
aritmetica jamais sera demonstrada: mostrou que esta  possibilidade � 
altamente improv�vel. Mostrou que com os recursos internos do sistema � 
impossivel provar a consistencia, vale dizer, precisariamos lan�ar m�o de 
principios externos cuja validade seria t�o dubia quanto a propria 
consistencia. Por outro lado, muitos esquecem que consistencia , no modelo 
de Godel , esta diretamente associada a completeza: Um sistema formal � 
completo se todas as afirma��es sobre os seus objetos puderem ser provados 
com os metodos de inferencia do proprio sistema. No quadro de Godel, se a 
aritmetica fosse consistente, ela seria incompleta e, se fosse completa, 
seria inconsistente.

Existe muitos bons livros de divulga��o sobre esse tema. Posso citar, de 
cabe�a, os seguintes: "A prova de Godel", de James Newman - editora 
perspectiva. "O teorema de Godel e a hipotese do contnuo", funda��o 
Karlousse Gubergian. N�o conhe�o tradu��o do 2, mas o primeiro existe em 
portugues.

Noto que temas relacionados a logica tem despertado muito interesse nos 
frequentadores desta lista. Existe muitos temas relacionados de interesse. 
Vou citar alguns:

Tese de Church : "A todo procedimento efetivo (algoritmo) corresponde uma 
maquina de turing"

Este principio � muito importante porque o numero de evidencias que o 
corroboram � muito grande. Num determinado sentido � como se estivessemos 
falando que toda atividade mecanica pode ser mapeada numa entidade abstrada, 
a maquina de turing. Segue, a priori, que se mostramos que n�o existe uma 
maquina de turing que descreva um determinado processo ent�o jamais 
encontraremos um algoritmo que descreva tal processo. Sera que estes 
procedimentos s�o as atividades que, h� muitos anos, os filosofos chamam de 
atividades "dialeticas" ? Sera que aqui se come�a a vislumbrar a verdadeira 
"humanidade" do homem, vale dizer, aquilo que poderemos fazer e em que n�o 
poderemos ser substituidos pelas maquinas ? S�o quest�es interessantes !
por outro lado, 90% das atividades humanas ( fun�oes rotineiras e 
operacionais - pense na atividade de um advogado .... !!!!) s�o algoritmicas 
ou podem ser algoritmizadas.

Deixo para os mestres que frequentam esta sala falar um pouco sobre os 
conceitos correlatos de "numero computavel", " maquina de turing universal e 
os computadores modernos"  etc Tenho certeza que a turma vai gostar muito de 
saber sobre estes temas.

Alguem j� ouviu falar sobre o jogo "vida" ? E sobre os resultados das 
pesquisas em "vida artificial" ?

Um forte abra�o
Paulo Santa Rita
1,2002,200699




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>To: <obm-rj@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Kurt G�del
>Date: Sun, 29 Aug 1999 21:53:03 -0300

>Qual o paradoxo de Richard?
>
><Bruno>


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