Re: [obm-l] Topologia

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Ol� Kleber:
 Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele
ficar mais confort�vel (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai
ser meu espa�o topol�gico).
  "Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0
).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) est� contido em int ( S U T ) "

    Suponho que com  int(S)  vc queira dizer "interior de S" e com
R voc� queira dizer conjunto (espa�o topol�gico) dos reais.

   Neste caso, para resolver, � s� lembrar a defini��o de ponto
interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos
para demonstrar.  Pelo que me lembro, a defini��o mais geral de ponto
interior �:

  "Um ponto p � um ponto interior de um conjunto S de um espa�o
topol�gico X,
se existe um subconjunto aberto A de S que cont�m p"

  Substitua agora X por R e A por intervalo aberto.  Agora � preciso
lembrar antes
de resolver, que o conjunto S pode ser "qualquer coisa", inclusive um
conjunto fractal
como o conjunto de Cantor, com interior vazio.   Estes casos (int (S) e
int (T) vazios)
podem ser considerados casos para uma demonstra��o por casos.

   Por exemplo:  int(S) = O  e int (T) = O  ==>  int (S) U int(T) = O
que est� contido em int (S U T),
pois O (o conjunto vazio) est� contido em qualquer conjunto eu posso
concluir isso porque o
enunciado diz  que S U T � diferente de vazio (S != 0 e T != 0)


Agora suponha int(S) != O ==>  existe p em int (S) e existe A contido em
S, A aberto, tal que p est� em A.
                                         ==> como A est� em S ent�o A
est� tamb�m em S U T e como A � aberto ent�o
                                        ==> A tamb�m est� em int (S U
T),  note que int (S U T) � uma reuni�o de conjuntos abertos
                                       ==>   e que este conjunto  n�o
pode ser vazio.
                                        ==>  A cont�m p logo p est� em
int(S U T )
                                        ==> int ( S ) U int ( T ) est�
contido em int ( S U T ) .


Note que aparentemente o resultado � geral e vale para quaisquer espa�os
topol�gicos.  Ooops... ser�
que eu errei algo?  Me corrijam por favor.  Falando em topologia, algu�m
conhece algum livro de topologia
alg�brica que fale sobre quebra-cabe�as de argolas?  Daqueles problemas
de tirar uma argola de dentro de
outra?

Abra�os.
Ronaldo.




Kleber Bastos wrote:

>  Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0
> ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) est� contido em int ( X U Y ) .
>
> --
> Kleber B. Bastos

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