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[obm-l] Polin�mios Est�veis
- To: OBM <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
- Subject: [obm-l] Polin�mios Est�veis
- From: "Bruno Fran�a dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>
- Date: Sat, 16 Jun 2007 10:44:36 -0300
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- Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
- Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Ol�. Vejam o seguinte teorema.
Um polin�mio � dito est�vel quando suas ra�zes t�m partes reais negativas.
Considere ent�o um polin�mio f, e a fun��o racional R,
R(z) = (f(z) - (-1)^n * f(-z)) / (f(z) + (-1)^n * f(-z))
Nessas condi��es,
f � est�vel <==>
<==> os p�los de R(z):
(i) est�o no eixo imagin�rio
(ii) s�o simples
(iii) t�m res�duos positivos
Consegui fazer a demonstra��o no sentido (==>), mas n�o consigo voltar. Algu�m tem alguma id�ia?
A ida:
J� est� demonstrado o seguinte: f est�vel <==> os conjuntos de ra�zes do numerador e do denominador s�o disjuntos, Re(z) > ==> Re(R(z)) > 0 e Re(z) < 0 ==> Re(R(z)) < 0.
Ent�o, como f � est�vel e R � irredut�vel, |f(z)| != |f(-z)| fora do eixo imagin�rio. Assim, f(z) +- f(-z) != 0, logo, n�o h� p�los fora do eixo imagin�rio.
Agora � grande, mas basta considerar um zero z_0 do denominador e escrever a s�rie de Laurent de R em torno de z_0, calcular arg(R(z)) e fazer z -> z_j por todas as curvas e obtemos que z_0 � p�lo simples e seu res�duo � positivo. (mas � bem grande).
Agora a volta estou com problemas! Consigo mostrar, na volta, que os conjuntos dos zeros do numerador e do denominador s�o disjuntos. Se eu mostr�sse as desiguandades em Re(z) < 0 e Re(z) > 0, estaria pronto, mas n�o vejo como! Alguma id�ia?
Bruno