[obm-l] Re: C�lculo Num�rico

On 5/8/07, Henrique Renn� <henrique.renno@gmail.com> wrote:

Ol�!

Estou estudando c�lculo num�rico pela obra "C�lculo Num�rico - Aspectos Te�ricos e Computacionais" e logo no primeiro exerc�cio do primeiro cap�tulo estou em d�vida na obten��o da resposta. Irei colocar v�rios conceitos retirados do livro para que o exerc�cio fa�a sentido no contexto do livro.

Exerc�cio:
Seja um sistema de aritm�tica de ponto flutuante de quatro d�gitos, base decimal e com acumulador de precis�o dupla. Dados os n�meros:
x = 0.7237*10^4 ; y = 0.2145*10^(-3) ; z = 0.2585*10^1
efetue as seguintes opera��es e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z est�o exatamente representados:
a) x + y + z
b) x - y - z
c) x/y
d) (xy)/z
e) x(y/z)

Irei detalhar apenas a) pois os outros irei tentar resolver assim que sanar minha d�vida.

Solu��o:
J� que o problema diz que x, y e z est�o exatamente representados podemos efetuar as opera��es com a quantidade de casas decimais que quisermos (existe at� um exemplo no livro em que a opera��o � efetuada com a quantidade de casas necess�rias, sem limita��o). Dessa forma, seguindo a seq��ncia de opera��es e efetuando x + y primeiro, temos que passar a pot�ncia da base 10 de y para ser igual a 4 (no livro � citado que se passe o valor da menor pot�ncia para a maior antes dos c�lculos). Assim:
x + y = 0.7237*10^4 + 0.00000002145*10^4 = 0.72370002145*10^4
x + y + z = 0.72370002145*10^4 + 0.0002585*10^4 = 0.72395852145*10^4

Como a resposta deve ser dada com quatro d�gitos:
Truncamento: x + y + z = 0.7239*10^4
Arredondamento: x + y + z = 0.7240*10^4 (j� que o quinto d�gito � 5, essa � a resposta encontrada no final do livro)

Qual seria a import�ncia de informar um acumulador de precis�o dupla??? Seria considerar os resultados intermedi�rios com 8 d�gitos decimais??? Qual a influ�ncia disso na resposta??? O livro cita que geralmente � efetuado truncamento ao inv�s de arredondamento porque o �ltimo necessita de mais tempo de execu��o.

Erro Relativo ap�s Truncamento: ER(x+y+z) < 10^(-3)
Erro Relativo ap�s Arredondamento: ER(x+y+z) < 0.5*10^(-3)

O erro relativo que est� como resposta no livro � ER(x+y+z) < 10^(-3), mas isso contraria a demonstra��o dada no pr�prio livro dos valores limite dos erros absoluto e relativo sendo que para o erro relativo seriam:

Erro Relativo ap�s Truncamento: ER < 10^(-t+1)
Erro Relativo ap�s Arredondamento: ER < 0.5*10^(-t+1)

onde t � a quantidade de d�gitos na representa��o da mantissa do n�mero, que no caso deste exerc�cio � 4.

A demonstra��o dos erros � bem clara e realmente n�o entendi porque a resposta da opera��o � arredondada e o erro relativo encontrado � para uma opera��o de truncamento.

Colocarei abaixo as respostas das outras letras.

b) x - y - z = 0.7234*10^4 e ER < 1.0002*10(-3) (de onde surgiu esse 1.0002 ???)
c) x/y = 0.3374*10^8 e ER < 0.5*10^(-3)
d) (xy)/z = 0.6004 e ER < 10^(-3)
e) x(y/z) = 0.6005 e ER < 10^(-3)

Me desculpem se estou parecendo "folgado" por pedir a resolu��o destes problemas.

Muito obrigado!

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Henrique

[obm-l] Re: C�lculo Num�rico - Ponto Flutuante