Re:[obm-l] algebra complexa dos complexos

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

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Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Tue, 27 Mar 2007 15:06:17 +0000

Assunto:

[obm-l] algebra complexa dos complexos

> Sauda,c~oes,

>

> Tenho duas apostilas dos anos 70 que tratam dos

> n�meros complexos: uma do Morgado (minha) e

> outra do Reinaldo (?) do Impacto que ganhei

> (surrupiei, afanei :<) ) de um irm�o.

>

> Nelas vemos alguns teoremas, uns demonstrados,

> outros n�o.

>

> Um teorema muito �til � o seguinte:

>

> Teorema 7 no M: A soma das pot�ncias de expoente m

> das ra�zes de �ndice n da unidade � igual a n se m �

> m�ltiplo de n e igual a zero, caso contr�rio.

> 

> Demonstra��o: m = pn � trivial. m <> pn � um bom

> exerc�cio de De Moivre e PG.

>

 

Se m <> pn, ent�o existem q e r em Z tais que:

m = qn + r, com 0 < r < n.

 

As ra�zes n-�simas da unidade s�o:

1, w, w^2, ..., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n).

 

w^n = 1 ==> w^m = w^(qn+r) = w^r.

Mas se 0 <= r <= s < n  e  w^r = w^s, ent�o w^(s-r) = 1 ==>

s = r ==>

os n�meros w^r (r = 0, 1, ..., n-1) s�o distintos dois a dois ==>

estes n�meros s�o justamente as ra�zes n-�simas da unidade (em alguma ordem), cuja soma � igual a 0.

 

 

> Teorema 8: As ra�zes comuns �s equa��es x^m - 1 = 0

> e x^n - 1 = 0 s�o as ra�zes da equa��o x^d - 1 = 0

> onde d = (m,n). A demonstra��o ser� omitida.

>

 

Basta ver que mdc(x^m-1,x^n-1) = x^d-1.

 

>

> Depois mando o Teorema 6, que trata do n�mero de

> ra�zes primitivas de �ndice n da unidade. Tamb�m sem

> demonstra��o.

>

 

Este n�mero � Phi(n) = n�mero de inteiros positivos menores do que n e primos com n.

 

[]s,

Claudio.