[obm-l] algebra complexa dos complexos

[Lu�s Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Tenho duas apostilas dos anos 70 que tratam dos
n�meros complexos: uma do Morgado (minha) e
outra do Reinaldo (?) do Impacto que ganhei
(surrupiei, afanei :<) ) de um irm�o.

Nelas vemos alguns teoremas, uns demonstrados,
outros n�o.

Um teorema muito �til � o seguinte:

Teorema 7 no M: A soma das pot�ncias de expoente m
das ra�zes de �ndice n da unidade � igual a n se m �
m�ltiplo de n e igual a zero, caso contr�rio.

Demonstra��o: m = pn � trivial. m <> pn � um bom
exerc�cio de De Moivre e PG.

Teorema 8: As ra�zes comuns �s equa��es x^m - 1 = 0
e x^n - 1 = 0 s�o as ra�zes da equa��o x^d - 1 = 0
onde d = (m,n). A demonstra��o ser� omitida.

Este teorema aparece como exerc�cio 148 em R.

Seja m=dp e r uma raiz de x^d - 1 = 0.
r^m - 1 = [r^d]^p - 1 = 0. De modo an�logo,
r � uma raiz de x^n - 1 = 0.

Mas isto n�o mostra que estas s�o todas as ra�zes comuns.

Depois mando o Teorema 6, que trata do n�mero de
ra�zes primitivas de �ndice n da unidade. Tamb�m sem
demonstra��o.

[]'s
Lu�s

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