Re:[obm-l] Problemas em aberto

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

> 2. Num espaco metrico compacto, uma sequencia (x(n)) eh tal que lim(n->+inf) dist(x(n+1),x(n)) = 0.

> Prove que o conjunto de valores de aderencia de (x(n)) eh conexo.

>

> Eu provei no caso de (x(n)) ser uma sequencia limitada na reta.

> Se x(n) -> a, entao A = conjunto dos valores de aderencia de (x(n)) = {a}, que eh conexo.

> Se x(n) nao converge, sejam a = liminf(x(n)) e b = limsup(x(n)).

> (a e b existem pois (x(n)) eh limitada e, alem disso, a < b, pois (x(n)) diverge)

> Finalmente, seja c tal que a < c < b.

> Tomemos eps > 0.

> Podemos supor spdg que eps eh pequeno o bastante para que os intervalos (a-eps,a+eps), (c-eps,c+eps) e (b-eps,b+eps) sejam

> disjuntos dois a dois.

> Seja k_0 em N tal que k > k_0 ==> |x(k+1) - x(k)| < eps.

> Seja m > k_0 tal que x(m) pertence a (a-eps,a+eps).

> Seja n o menor inteiro maior do que m tal que x(n) pertence a (b-eps,b+eps).

> (m e n existem pois a e b sao limites de subsequencias de (x(n)) )

> Eh claro que x(m) < c-eps < c+eps < x(n).

> Seja X = {r em N | m <= r <= n e x(r) <= c-eps}.

> Naturalmente, X eh nao-vazio (m pertence a X) e limitado superiormente (por n, que nao pertence a X, mas isso nao importa).

> Seja r = maior elemento de X.

> Entao, x(r) <= c-eps < x(r+1) e, portanto, x(r+1) < c+eps, pois se fosse x(r+1) >= c+eps, entao:

> |x(r+1) - x(r)| >= 2*eps, o que eh impossivel pois r >= m > k.

> Logo, x(r+1) pertence a (c-eps,c+eps).

> Ou seja, para cada eps > 0, existe n em N tal que x(n) pertence a (c-eps,c+eps) ==>

> c eh um valor de aderencia de (x(n)).

> Como c eh um elemento arbitrario de (a,b), concluimos que (a,b) estah contido em A.

> Como a = min(A) e b = max(A), concluimos que A = [a,b] = conexo.

>

 

 

No caso geral, temos que A (conjunto de valores de ader�ncia de (x(n)) � fechado (um bom exerc�cio � provar isso). Como o espa�o � compacto, A � compacto.

 

Suponhamos que A n�o seja conexo.

Ent�o, podemos escrever A = B uniao C, onde B e C s�o compactos disjuntos e n�o-vazios. Temos dist(B,C) = d > 0 (outro bom exerc�cio)

 

B pode ser coberto por um n�mero finitos de bolas abertas com centro em algum ponto de B e raio = d/3 (Heine-Borel-Lebesgue). Idem para C. Chame a uni�o dessas bolas de VB e VC respectivamente ("V" de vizinhan�a...).

Temos que dist(VB,VC) >= d/3 (mais um exerc�cio)

 

Seja k_0 em N tal que para todo k > k_0, dist(x(k+1),x(k)) < d/3.

Seja m > k_0 tal que x(m) pertence a VB. Um tal m existe pois alguma subsequencia de (x(n)) converge para algum ponto de B.

Seja p o menor inteiro maior que m tal que x(p+1) pertence a VC. Um tal p tamb�m existe pois alguma subsequencia de (x(n)) converge para algum ponto de C.

 

N�o � dif�cil ver que x(p) n�o pertence a VB nem a VC.

N�o pertence a VC pela escolha de p e n�o pertence a VB pois, se esse fosse o caso, como p > m > k_0, ter�amos:

d/3 > dist(x(p+1),x(p)) >= dist(VC,VB) >= d/3, o que � uma contradi��o.

 

Assim, para cada par (m,n) em NxN com m < n tal que x(m) pertence a VB e x(n) pertence a VC, vai existir p com m < p < n tal que x(p) n�o pertence a VB uni�o VC. Como o conjunto dos pares (m,n) � infinito, o conjunto dos p tamb�m �. Ou seja, (x(p)) � uma subsequ�ncia de (x(n)) cujos pontos n�o pertencem a VB uni�o VC. Como o espa�o � compacto, (x(p)) � limitada e, portanto, possui uma subsequ�ncia convergente para um ponto c, o qual tamb�m n�o pertence a VB un�o VC (pois o complementar de VB uni�o VC � fechado). Logo, c � um valor de ader�ncia de (x(n)) que n�o pertence a VB uni�o VC e, com mais raz�o ainda, n�o pertence a B uni�o C = A ==> contradi��o.

 

A �nica origem poss�vel dessa contradi��o � a hip�tese feita inicialmente de A n�o ser conexo. Logo, conclu�mos que A � conexo.

 

 

Belo problema esse! Eu levei um bom tempo pra formalizar uma solu��o apesar da id�ia b�sica ser simples: pra sequ�ncia alternar infinitas vezes entre VB e VC, uma infinidade de termos teria que estar no complementar de B uni�o C, j� que, a partir de um certo ponto, a dist�ncia entre dois termos consecutivos � menor do que a dist�ncia entre VB e VC. Por causa da compacidade do espa�o, esses termos teriam que se acumular no espa�o entre B e C e formar uma "ponte" conexa entre os dois conjuntos.

 

 

[]s,

Claudio.