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RES: [obm-l] sequencias

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: RES: [obm-l] sequencias
From: Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>
Date: Fri, 2 Feb 2007 14:21:44 -0200
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) -> oo e l(n+1)
- ln(n) -> 0.
Uma forma de ver isso dem formalizar: � media em que n vai aumentando, vamos
percorrendo o c�rculo, sendo que a diferen�a entre pontos consecutivos �
cada vez menor. Assim , se x est� em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto
contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro
que isso noa eh prova, soh a ideia
Artur 

-----Mensagem original-----
De: claudio.buffara [mailto:claudio.buffara@terra.com.br]
Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30
Para: obm-l
Assunto: Re: [obm-l] sequencias


Soh pra complementar:
sen(log(n+1)) - sen(log(n)) -> 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) -> 0 e
a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer 
dizer que |sen(x) - sen(y)| <= |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R.
Pra ver isso, faca: 
|sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| <= 2*|sen((x-y)/2)| <=
2*|(x-y)/2| = |x-y|.

O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n
divergente implica sen(x_n) divergente.
Por exemplo, se a_n -> a entao x_n = a_n + 2*pi*n -> infinito, mas sen(x_n)
-> sen(a).

O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n))
seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, 
se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons
tempos aqueles...). 

No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de
aderencia.
Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia
crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) -> 0 
(esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada,
podemos tomar indices n_1, n_2, .... tais que:
n_k = maior indice tal que x_n_k <= k*pi + pi/2 ==> 
x_n_k <= k*pi + pi/2 < x_(n_k + 1)  (**)
Mas (x_(n+1) - x_n) -> 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso
quer dizer que:
lim(k -> +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. 
Logo, como seno eh continua:
(i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) -> sen((2m-1)*pi
+ pi/2) = -1;
e
(ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) -> sen(2m*pi + pi/2) =
1.

Acho que eh isso.

[]s,
Claudio.



---------- Cabe�alho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia: 
Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200
Assunto: Re: [obm-l] sequencias

> Ol� Artur,
> 
> sabemos que sen(x) diverge qdo x->inf... e que, se g(x) -> inf qdo x->inf,

> entao: lim (x->inf) f(g(x)) = lim (x->inf) f(x) ...
> deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)->inf qdo n->inf e sen(x)
diverge 
> qdo x->inf..
> 
> bom, qquer erro, por favor, me corrija!
> 
> abra�os,
> Salhab
> 
> ----- Original Message ----- 
> From: "Artur Costa Steiner" <artur.steiner@mme.gov.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM
> Subject: RES: [obm-l] sequencias
> 
> 
> Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo
que
> esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
> valida
> Artur
> 
> -----Mensagem original-----
> De: Artur Costa Steiner
> Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: RES: [obm-l] sequencias
> 
> 
> No caso (i), a seq. n�o tem que ser convergente. Um contra-exemplo � a
seq.
> cujos termos s�o 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
> 
> A lei de forma��o � um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o
intervalo
> em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
> positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
> depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, a� voltamos para
0
> por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
> dadas mas n�o converge.
> 
> Artur
> 
> 
> 
> -----Mensagem original-----
> De: carlos martins martins [mailto:carlossolrac10@hotmail.com]
> Enviada em: ter�a-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] sequencias
> 
> 
> sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com
sequ�ncias,
> 
> i) Seja (x_n) uma sequ�ncia tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
> (x_n) � limitada.
>   Mostre ou d� contra-exemplo que (x_n) � convergente.
> 
> ii) Se (a_n)  � uma sequ�ncia de n�meros reais definida por
>   a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
>   Mostre que 1 <= a_n <= 2.
> 
> Na primeira n�o tive muito progresso.
> 
> Na segunda consegui mostrar por indu��o que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, n�o
> consegui, cheguei
> a_n <= 3.
> 
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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