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[obm-l] Re: [obm-l] Fwd: D�vidas em �lgebra

Ou ent�o, voc� repara que:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/2n =
  
1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ...  + 1/(2n-1) + 1/(2n)
      -1             -1/2          -1/3           - 1/4    ...                   -  1/n  =
  
(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n)) - (1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/n) =
 
 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n).
 
(espero que o espa�amento tenha sa�do OK...)
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia:
Data: Thu, 26 Oct 2006 10:23:41 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Fwd: D�vidas em �lgebra
> S� tentei resolver a primeira quest�o. Deu certo por indu��o. As vezes
> voc� n�o organizou muito bem as express�es e acabou se confundindo por
> isso. Ou ent�o eu errei!
>
>
> Para facilitar, seja:
> S(n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n
> H(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n
> Observe que:
> H(n+1) = 1/(n+1+1) + ... + 1/2n + 1/2n+1 + 1/2(n+1) = H(n) - 1/(n+1) +
> 1/(2n+1) + 1/2(n+1)
> ou seja:
> H(n) = H(n+1) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
> H(n) = H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)
>
> Queremos mostrar que S(n) = H(n).
>
> Base da indu��o (n=1):
> S(1) = 1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 + 1) = H(1)
> ok.
>
> Passo da indu��o:
> Precisamos mostrar que se S(n) = H(n), ent�o S(n+1) = H(n+1).
>
> S(n+1) = S(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = H(n) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
> Utilizando a relacao entre H(n) e H(n+1):
> S(n+1) = (H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
> S(n+1) = H(n+1)
>
>
> On 10/26/06, Ramon Carvalho wrote:
> >
> >
> >
> > From: Ramon Carvalho
> > Date: 24/10/2006 19:57
> > Subject: D�vidas em �lgebra
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> >
> > 1) Provar que a igualdade � verdadeira:
> >
> > 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2n
> >
> > eu tentei fazer por indu��o, mas ficou um termo que n�o se encaixava em
> > canto nenhum
> >
> > 2) Achar o valor das express�es abaixo
> > e = ( n+1 )(n+2)...(n+n)
> >
> > f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2
> >
> > Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padr�o entre os elementos
> > para tentar uma indu��o ou h� outro modo mais eficaz? J� que nem sempre fica
> > f�cil ver um certo padr�o entre os termos.
> >
>
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>