[obm-l] Trigonometria - O retorno

[Lu�s Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor do
Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solu��o acho que
do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com esta
nova solu��o. Acho que o Morgado teria gostado de
ambas.

Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso Vetor.
Dava aulas de combinat�ria (foi a� que comecei a entender
a diferen�a entre combina��es e permuta��es), n�meros
complexos e polin�mios. Atribuo a ele e suas apostilas meu
descobrimento de uma matem�tica interessante, diferente
do que havia visto at� ent�o. Tive muita sorte em t�-lo
tido como professor.

[]'s
Lu�s

P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc far�o algum
necrol�gio escrito para ele. Sugiro que as declara��es nas
mensagens desta lista fa�am parte dele.


On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote:
cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
com a + b + c =180� (angulos internos de um triangulo)

Oi Lu�s,

Sei que � feriad�o. � s� pra dizer que realmente sai como falei,
mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan.

Sejam (A, B, C) �ngulos e (a, b, c) lados de um tri�ngulo T.
Sabe-se que:
1. Lei dos co-senos: a� = b� + c� - 2bc cosA; (an�logo para B e C)
2. Heron: S� = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2;
3. raio do c�rculo circunscrito a T: R = abc/4S
raio do c�rculo inscrito em T: r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
Prova:
cos A + cos B + cos C =
(b� + c� - a�) / 2bc + (a� + c� - b�) / 2ac + (a� + b� - c�) / 2ab =
[2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c) =
1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)     Q.E.D.

(refer�ncia utilizada: Manual de Trigonometria, Lu�s Lopes)

Manda pra lista.

Int�+,

Edu.

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