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Re: [obm-l] G Abeliano
Vai que por isso eu n�o estava conseguindo sair do canto, Nicolau. Mas como voc� citou que suponha n�o haver mais hip�teses, vou te relatar o problema e minha resolu��o. Talvez eu esteja confundindo alguma coisa. Vamos l�!
PROBLEMA: Prove que n�o existe um grupo G tal que |G/Z(G)|=15
Minha RESOLU��O: Supondo que exista tal grupo, resolvi encarar S=G/Z(G) como um grupo e aplicar os teoremas de Sylow, pra tentar chegar numa contradi��o.
Como |S|=3.5 o 1� Teorema de Sylow nos garante que S cont�m pelo menos um 3-subgrupo de Sylow H e pelo menos um 5-subgrupo de Sylow K. Pelo 3� Teorema de Sylow, cheguei � conclus�o de que o n�mero de 3-subgrupo de Sylow e 5-subgrupo de Sylow � exatamente 1. A partir de um corol�rio dos teoremas de Sylow, conclu�mos que esses subgrupos H e K s�o normais com rela��o � S.
Do fato de H e K serem normais em S, conclu�mos que HK � um subgrupo de S, e por um princ�pio de contagem temos que
|HK |=(|H|.|K|) / | H^K |
onde H^K significa a interse��o entre esse dois conjuntos.
Pelo Teorema de Lagrange conclu�mos que H^K={e}, e assim S=HK. com H e K subgrupos normais de S. Logo,
S � isomorfo � Z_3 x Z_5 que � c�clico pois o mdc(3,5)=1. Temos tamb�m que todo grupo c�clico � abeliano. Logo, G/Z(G) � c�clico e abeliano.
Parei por a�, Nicolau. Queria provar que o fato de G/Z(G) ser abeliano implicaria no fato de G ser abeliano. Da�, G seria igual ao seu centro Z(G). Mas acho que estou no caminho errado. O que voc� acha?
Abra�os. Thiago.
Em 22/09/06, Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br> escreveu:
On Fri, Sep 22, 2006 at 04:13:29PM -0300, Thiago Lucas wrote:
> Ol�, pessoal. Como eu provo que se G/Z(G) � abeliano ent�o G � abeliano?
Supondo que Z(G) signifique o centro de G e que n�o haja mais nenhuma
hip�tese ent�o voc� n�o prova pq � falso. Tome por exemplo G o grupo
de oito elementos {+-1, +-i, +-j, +-k} com a multiplica��o dos quat�rnios,
i.e., i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j.
� f�cil verificar que Z(G) = {+-1} e que G/Z(G) � abeliano, mas que
G n�o � abeliano.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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