Re: [obm-l] Cos 7�

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Talvez valha a pena comentar que o argumento da
mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para
mostrar que qualquer �ngulo, expresso em graus por um
n�mero racional (ou expresso em radianos por um
racional multiplicado por Pi) tem n�meros alg�bricos
como seno e cosseno.

Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um
n�mero alg�brico s�o transcedentais � poss�vel com o
teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu n�o sei
demonstrar).

Por �ltimo, resta responder se senos e cossenos de
�ngulos transcedentais, mas que n�o s�o m�ltiplos
racionais de Pi, s�o transcedentais. Este �ltimo acho
que est� em aberto. Al�m poderia confirmar?

[]�s Dem�trio    


--- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:

> 
> S� pra dar um dos poss�veis exemplos de como se
> obter
> cos(7 graus) a partir de equa��es alg�bricas (e sem
> querer dar pitaco na discuss�o mais avan�ada que se
> seguiu depois!!!)
> 
> 1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas ra�zes. 
> 2- Tome uma das ra�zes com parte real m�xima(s�o 4
> ra�zes com parte real m�xima em m�dulo, tomemos uma
> delas, digamos x180)
> 3- Eleve este numero complexo � s�tima: c7 =
> (x180)^7
> 4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente.
> 
> []�s Dem�trio
> 
> No maple =>
> 
> restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0):
>                                   180
>                             f := x    + 1
> > r180:=0: for r in z do
> >   if ( evalf(Re(r180)) < evalf(Re(r)) ) then
> r180:=r: end if:
> > end do:
> > 
> > 
> > evalf((r180));
>                     0.9998476955 + 0.01745240644 I
> > evalf[50](Re(r180^7));       
> 0.99254615164132203498006158933058410904365287740678
> > evalf[50](cos(2*Pi*7/360));        
> 0.99254615164132203498006158933058410904365287740683
> 
> 
> 
>  
> --- rlalonso@lsi.usp.br escreveu:
> 
> > On Fri, Maio 26, 2006, "Nicolau C. Saldanha"
> > <nicolau@mat.puc-rio.br>
> > said:
> > 
> > > Talvez voc� goste de saber que cos(7 graus) � a
> > segunda mair raiz de
> > > 
> > >                  48                     46      
>  
> >              44
> > > 281474976710656 z   - 3377699720527872 z   +
> > 18999560927969280 z
> > > 
> > >                           42                    
>  
> > 40                       38
> > >      - 66568831992070144 z   +
> 162828875980603392
> > z   - 295364007592722432 z
> > > 
> > >                            36                   
>  
> >  34
> > >      + 411985976135516160 z   -
> 452180272956309504
> > z
> > > 
> > >                            32                   
>  
> >  30
> > >      + 396366279591591936 z   -
> 280058255978266624
> > z
> > > 
> > >                            28                   
>  
> > 26                      24
> > >      + 160303703377575936 z   -
> 74448984852135936
> > z   + 28011510450094080 z
> > > 
> > >                          22                    
> 20
> >                    18
> > >      - 8500299631165440 z   + 2064791072931840 z
>  
> > - 397107008634880 z
> > > 
> > >                        16                  14   
>  
> >            12
> > >      + 59570604933120 z   - 6832518856704 z   +
> > 583456329728 z
> > > 
> > >                     10               8          
>  
> > 6           4         2
> > >      - 35782471680 z   + 1497954816 z  -
> 39625728
> > z  + 579456 z  - 3456 z  + 1
> > > 
> > > 
> > > As ra�zes s�o +-cos(k graus) e +-sen(k graus)
> para
> > > k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
> 43.
> > 
> > 
> >      Magn�fico.  Onde ser� que eu posso achar algo
> > que explique como
> > construir esse polin�mio ... Acredito que n�o deva
> > ser nada simples.
> > 
> > Ronaldo.
> > 
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> > usar a lista em
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